Зимой 1900–1901 года шведский математик Э. Хольмгрен докладывал на семинаре Гильберта о первых работах Фредгольма по интегральным уравнениям, и, по-видимому, Гильберт зажёгся ими сразу же. Этот предмет имеет долгую и извилистую историю и своим возникновением он обязан Даниилу Бернулли. В течение двух столетий усилия математиков были направлены к решению (механической, акустической, оптической, электромагнитной) проблемы колебаний среды и связанной с ней краевой задачи теории потенциала. Работа Фурье Theorie analylique de la chaleur (1822) стала вехой на этом пути. Г. А. Шварц с помощью построения основной частоты мембраны впервые доказал (1885) существование собственных колебаний для двумерного случая и более высоких размерностей. Последнее десятилетие XIX века пришлось на создание Пуанкаре его мощных теоретико-функциональных методов; вместе с К. Нейманом они вступили в схватку с гармонической краевой задачей; Вольтерра изучал тот тип уравнений, который теперь носит его имя, а Хельге фон Кох изобрёл бесконечные определители для линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных. Большинство научных открытий делается «в своё время»; иногда, но реже какой-нибудь гений приоткрывает завесу над будущим на десятки лет раньше, чем этого можно было ожидать. Открытие же Фредгольма, как мне всегда казалось, пришло с некоторым опозданием для того времени. Что может быть естественнее идеи превращения системы линейных уравнений, описывающей дискретную систему масс, в интегральные уравнения при переходе к предельному случаю сплошной среды? Однако тот факт, что в более простых ситуациях в непрерывном предельном случае возникают дифференциальные, а не интегральные уравнения, на целых два столетия приковал внимание математиков к дифференциальным уравнениям!
Тем не менее надо отметить, что простота результатов Фредгольма обязана специальному виду его уравнения, на который трудно было бы напасть, если бы он не руководствовался проблемами математической физики, к которым он его применил:
|
| 1 |
|
x(s) – | ? | K(s, t) x(t) dt = f (s) (0 ? s ? 1). |
|
| 0 |
|
Здесь линейный оператор, стоящий в левой части, действует на неизвестную функцию x и принимает данное значение f , (E – K) x = f . Он состоит из двух частей: тождественного оператора E и линейного оператора K, который в некотором смысле слабее E. Фредгольм доказал, что для таких интегральных уравнений справедливы следующие два основных факта, известных для систем из n линейных уравнений от того же числа неизвестных: 1) | Однородное уравнение [ f (s) = 0] имеет конечное число линейно независимых решений x(s) = ?1(s), ..., ?h(s), а однородное уравнение с сопряжённым ядром K'(s, t) = K(t, s) имеет такое же число линейно независимых решений ?1(s), ..., ?h(s). |
2) | Неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда заданная функция f удовлетворяет h линейным уравнениям 1 |
| ? | f (s) ?i(s) ds = 0 (i = 1, ..., h). | 0 |
|
|
Используя один искусственный приём Пуанкаре, Фредгольм вводит параметр ?, заменяя K на ?K, и получает решение в знакомом из линейной алгебры виде, т.е. как отношение двух определителей типа X. фон Коха, каждый из которых является целой функцией ?.
