После того как мы рассмотрели общее значение проблем в математике, обратимся к вопросу о том, из какого источника математика черпает свои проблемы. Несомненно, что первые и самые старые проблемы в каждой области математики возникли из опыта и поставлены нам миром внешних явлений. Даже правила счёта с целыми числами были открыты на этом пути ещё на ранней ступени человеческого развития так же, как и теперь ребёнок познаёт применение этих правил эмпирическим методом. То же относится к первым задачам геометрии, пришедшим с античных времен, таким, как например, удвоение куба, квадратура круга, а также к старейшим задачам теории численных уравнений, теории кривых, дифференциального и интегрального исчислений, вариационного исчисления, теории рядов Фурье и теории потенциала, не говоря уже о всём богатстве проблем собственно механики, астрономии и физики.
При дальнейшем развитии какой-либо области математики человеческий ум, обнадёженный удачами, проявляет уже самостоятельность; он сам ставит новые и плодотворные проблемы, часто без заметного влияния внешнего мира, с помощью только логического сопоставления, обобщения, специализирования, удачного расчленения и группировки понятий и выступает затем сам на первый план как постановщик задач. Так возникли задача о простых числах и другие задачи теории чисел, теория Галуа, теория алгебраических инвариантов, теория абелевых и автоморфных функций и на самом деле почти все тонкие вопросы современной теории чисел и теории функций.
А между тем во время действия созидательной силы чистого мышления внешний мир снова вступает в действие: он навязывает нам своими реальными фактами новые вопросы и открывает нам новые области математики. И в процессе включения этих новых областей знания в царство чистого мышления мы часто находим ответы на старые нерешённые проблемы и таким путём наиболее успешно продвигаем вперёд старые теории. На этой постоянно повторяющейся и сменяющейся игре между мышлением и опытом, мне кажется, и основаны те многочисленные и поражающие аналогии и та кажущаяся предустановленной гармония, которые математик так часто обнаруживает в задачах, методах и понятиях различных областей его науки.
Остается кратко обсудить, какие общие требования могут быть предъявлены к решению математической проблемы. Прежде всего я хотел бы сказать о требованиях, благодаря которым удаётся убедиться в правильности ответа с помощью конечного числа заключений и притом на основании конечного числа предпосылок, которые кладутся в основу каждой проблемы и которые должны быть в каждом случае точно сформулированы. Это требование логической дедукции с помощью конечного числа заключений есть не что иное, как требование строгости в рассуждениях. Действительно, требование строгости, которое в математике уже вошло в поговорку, соответствует общей философской потребности нашего разума; с другой стороны, только выполнение этого требования приводит к выявлению полного значения существа проблемы и её плодотворности. Новая проблема, особенно если она вызвана к жизни явлениями внешнего мира, подобна молодому побегу, который может расти и приносить плоды, только если он будет заботливо и по строгим правилам садоводства взращиваться на старом стволе — твёрдой основе нашей математической науки.
