«Вы говорите, что мы не можем знать, может ли десятичное разложение числа ? содержать десять девяток подряд, — возразил кто-то после того, как Брауэр кончил. — «Может быть, мы и не знаем, зато бог знает!»
На это Брауэр сухо ответил: «Я не держу прямой связи с богом».
По окончании оживлённой дискуссии встал, наконец, Гильберт.
«С вашими методами, — сказал он Брауэру, — бoльшую часть математики пришлось бы выкинуть, а для меня важно получать не меньше, а больше результатов».
Он уселся под гром аплодисментов.
Чувства большинства математиков хорошо высказал Ганс Леви, который, будучи приват-доцентом, присутствовал на докладе Брауэра в Гёттингене:
«По-видимому, есть математики, которые лишены чувства юмора или же имеют обостренное чувство совести. Мне кажется, что я вполне разделяю точку зрения Гильберта. Если нам суждено пережить такие потрясения, о которых говорил Брауэр, то никто больше не захочет стать математиком. В конце концов, математика представляет собой вид человеческой деятельности. До тех пор пока Брауэр не найдёт противоречия в классической математике, никто не захочет его и слушать».
«Именно по этому пути, по моему мнению, развивалась логика. Имеются некоторые принципы, потом замечают, что они могут привести к противоречию, тогда их изменяют. Я думаю, что так будет всегда. Где-то может скрываться масса противоречий, и, как только они проявятся, все математики захотят от них избавиться. Однако до этих пор мы будем придерживаться тех принципов, которые позволят нам двигаться с наибольшей скоростью».
Однако программа Гильберта также подверглась критике. Некоторым математикам не нравилось то, что в своём формализме он свёл их науку к «бессмысленной игре с бессмысленными символами на бумаге». Однако тем, кто был знаком с работой Гильберта, эта критика казалась необоснованной.
«... Действительно ли заслуживает доверия такая оценка взглядов Гильберта, — спрашивал Харди, — человека, который, вероятно, больше кого-либо из математиков своего времени добавил к содержательной математике столь богатый и красивый комплекс результатов? Я могу согласиться с тем, что философия Гильберта сколь угодно несовершенна, однако не с тем, что созданная им математическая теория с далеко идущими намерениями смешна или тривиальна. Невозможно предположить, что Гильберт отрицает значимость и реальность математических понятий, и мы имеем тому самые надёжные подтверждения. Он сам говорит, что "аксиомы и доказуемые теоремы, возникающие в нашей формалистической игре, являются образами идей, составляющих основной предмет обычной математики"».
К 1927 году Гильберт чувствовал себя достаточно хорошо, чтобы снова отправиться в Гамбург, «прокатиться и высказать мои идеи по поводу оснований математики, которые я уже однажды, пять лет назад, здесь высказывал и которые чрезвычайно занимали меня с тех пор». По-прежнему его основной целью было «раз и навсегда» избавиться от любого вопроса, подвергающего сомнению основания математики. «Я верю, — сказал он, — что моя теория доказательства позволит мне достичь окончательной цели, хотя для её полного развития предстоит ещё немало сделать».
В этой речи он ответил на различные критические высказывания о его программе: «каждое из которых я считаю столь несправедливым, насколько это вообще возможно». Он даже вспомнил замечания Пуанкаре, высказанные им в своей гейдельбергской речи. «К сожалению, Пуанкаре, самый плодовитый и богатый идеями среди математиков своего поколения, имел определённое предубеждение к теории Кантора, не позволившее составить справедливое мнение о великолепных понятиях, введенных Кантором». Что касается самых последних исследований, бoльшую часть которых занимает программа Брауэра, то «тот факт, что исследования оснований снова вызывают такой живой интерес и приобретают столь важное значение, безусловно, доставляет мне большое удовольствие. Однако когда я раздумываю над содержанием и результатами этих исследований, то по большей части я не могу согласиться с их тенденцией; мне даже кажется, что в своём большинстве они отстают во времени, как будто они возникли в те времена, когда ещё не был открыт величественный мир идей Кантора». Всё его выступление носило сильно полемический характер. «Даже набросок моего доказательства континуум-гипотезы Кантора не остался без критики!» — пожаловался Гильберт, на сей раз подробно обсуждая это доказательство.
Игра с формулами, «которую столь недооценивает Брауэр», указал он, позволяла математикам выражать единым образом всё идейное содержание математической науки, а также развивать её таким образом, чтобы одновременно прояснялись внутренние связи между различными предложениями и фактами. Помимо своего математического интереса, она имеет важное общефилософское значение.
