Вероятность ω(ψk, θ) убывает в Ψkи возрастает в θ, тогда как s(ψk, θ) возрастает в ψkи убывает в θ. В пределе, когда θ → 0, s(∙) → 1 и ω(∙) → 1, война против угрозы стоит с. Если войны не происходит или если контролирующий клан побеждает, игра продолжается, как раньше. Поражение подразумевает нулевой выигрыш возобновления.
Рассмотрим средний ожидаемый выигрыш клана k с учетом дисконтирования (далее – средний выигрыш), Vk,c(T, θ)[253], являющийся функцией ценности от[254]
в зависимости от ограничения клана на участие, (1 – δ) Σ δt s(∙)t[I(T) – ψk – cω (∙)] ≥ 0, и ограничений клана по бюджету, I(T) – ψk – cω (∙) ≥ 0.
Поскольку ОР предполагает максимизацию непрерывной функции на компактном множестве, решение существует. Я предполагаю, что решение является решением во внутренней области. Предположение, что Vk,c(T, θ) возрастает в Т и убывает в θ, является прямым и интуитивным. Выигрыш контролирующего клана возрастает в валовом доходе, а именно в количестве привилегий Т, и убывает в размахе внешней угрозы θ. Очевидно, что клан предпочтет контролировать город с большим количеством прибыльных привилегий и сталкиваться с меньшими рисками и инвестициями, связанными с поддержанием этого контроля. Предположим, что контролирующий клан сочтет выгодным дать отпор внешней угрозе, т. е. δVk,s (T, θ; ψk) > c. (Следовательно, эндогенная переменная ψkв Vk,s (T, θ; ψk) эксплицитно не обозначена.)
Равновесие при взаимном сдерживании с фиксированным количеством привилегий
Клан удерживается от вступления в конфронтацию со своим противником, если военные инвестиции другого клана таковы, что ожидаемая чистая выгода от конфронтации меньше, чем от отказа от нее. При равновесии со взаимным сдерживанием ни один клан не может извлечь выгоду из сокращения военных инвестиций или от вступления в конфронтацию с другим кланом.
Для рассмотрения необходимых и достаточных условий, при которых может существовать равновесие со взаимным сдерживанием, предположим, что никакой конфронтации никогда не происходило, что не предполагается, что какой-либо из кланов будет в нее вступать, и что клан k ∈ {i, j}вкладывает ψkв каждом периоде.
В этом случае средний выигрыш клана k Vk(λk, T; ψk) равен его чистому доходу за период, а именно λk[I(T) + R(T)] – ψk. Если клан k ожидает получать такой выигрыш от каждого периода, он будет воздерживаться от вступления в конфронтацию, если этот выигрыш выше, чем ожидаемый выигрыш от развязывания межклановой войны.
Формально клан k не будет вступать в конфронтацию тогда и только тогда, когда будет выполняться следующее неравенство:
δVk,d(λk, T; ψk) ≥ δsk,w (ψk, ψ—k)Vk,c(T, θ; ψk) – c(1 – δ),
где δVk,d(λk, T; ψk) – дисконтированная стоимость среднего выигрыша клана при взаимном сдерживании в следующий период, а δsk,w (ψk, ψ—k)Vk,c(T, θ; ψk) – c(1 – δ) – его чистая дисконтированная стоимость, если он станет контролирующим кланом в следующем периоде, с вероятностью того, что он победит в межклановой войне (sk,w(ψk, ψ—k)), минус (средние, с учетом временного дисконтирования) издержки войны.
Нас интересует ситуация, в которой это неравенство действительно для обоих кланов и ни один из них не может извлечь выгоду от сокращения инвестиций в военную силу. Чтобы преобладала такая ситуация, должно быть удовлетворено условие VIII.1.
Условие VIII.1
Существует такое (ψ i,d, ψ j,d), при котором для k ∈ {i, j}:
а) инвестиции осуществимы: ψ k,d≤ λ k [I(T) + R(T)];
б) они максимизируют выигрыши: ψ k,d∈ arg max V k,d (λ k, T; ψ k) при условии пункта «в»;
в) достижения сдерживания: ∀ ψ —k≤ λ —k[I(T) + R(T)], ψ —k≥ ψ k,d, δV —k,d(λ —k, T; ψ —k,d) ≥ δs —k,w(ψ —k, ψ k,d)V —k,c(T, θ) – (c + (ψ —k– ψ —k,d))(1 – δ). [ICC —k]
Если условие VIII.1 соблюдается, есть осуществимая инвестиция для каждого клана (пункт «а»), являющаяся самой низкой инвестицией (пункт «б»), которая будет удерживать другой клан от вступления в конфронтацию для любой возможной инвестиции другого клана (пункт «в»). Если совершенное в подыгре равновесие со взаимным сдерживанием (λk, T) существует, условие VIII.1 будет выполняться.
Если оно выполняется, из этого прямо следует, что такое равновесие существует[255]. В частности, если условие VIII.1 удовлетворяется, следующая комбинация стратегий является равновесием со взаимным сдерживанием (λk, T): если конфронтация никогда не происходила, клан k ∈ {i, j} сотрудничает в пиратстве и инвестирует ψk,d в военную силу. Клан не вступает в конфронтацию, если ψ —k≥ ψ k,d, а в противном случае – вступает. Ни один из кланов не сотрудничает в пиратстве после конфронтации. Если клан k когда-либо выигрывал в конфронтации, он инвестирует ψk,cв подготовку к тому, чтобы дать отпор внешней угрозе[256].
