Институты и путь к современной экономике полностью

Оцениваемая при Т = т правая сторона этого неравенства равна нулю, а левая сторона строго положительна. Таким образом, равновесная инвестиция в военную силу возрастает в Т = τ, т. е. ∂ψ^k,d(τ/∂T > 0, подразумевая, что ожидаемая кланами полезность не максимизируется при эффективном количестве привилегий.

Что касается второго утверждения, ожидаемая кланом к полезность максимизируется при равновесии со взаимным сдерживанием, в котором

Что и требовалось доказать.

Из этой теоремы следует, что неэффективное равновесие со взаимным сдерживанием с большей вероятностью будет существовать, если внешняя угроза слабее. В частности, ожидаемая ценность положения контролирующего клана возрастает с ослаблением внешней угрозы. Это предполагает более широкий диапазон параметров, на котором эффективное равновесие со взаимным сдерживанием характеризуется положительными инвестициями в военную силу, что равноценно наличию положительного числа сторонников (напомним, что инвестиции в военную силу приравнены к вербовке сторонников.)

Формально в пределе, когда θ → 0 (и следовательно s(∙) → 1 и ω(∙) → 1 для ψ^k= 0), c(1 —δ) →0 и R(T) → 0 равновесное число сторонников должно быть положительным если для k = i или j, ∃ ψ^k≤λ^k[I(T) + R(T)] таково что s^k,w (ψ^k, 0) > λ^k, т. е. существует реальное число сторонников, которые делают вероятность победы клана k, s^k,w (∙) выше, чем его доля прибылей λ^k, когда у другого клана нет сторонников.

Теорема VIII.2

Предположим, что для ∀T ∈ [0, τ] существует равновесие со взаимным сдерживанием (λk, T) с положительным равновесным инвестированием в военную силу. Для обоих кланов количество оптимальных привилегий Т*(θ) является неубывающим в θ.

Доказательство. Любое сокращение в V^k,c () ослабляет ограничения взаимного сдерживания и делает большее количество привилегий оптимальным для обоих кланов. Поскольку θ влияет только на V^k,c (), для доказательства теоремы достаточно показать, что ожидаемая полезность для контролирующего клана убывает в θ. Ожидаемая полезность для контролирующего клана представляет собой функцию ценности для задачи OP, определенной выше. Чтобы увидеть, что она убывает в θ, определим g(∙) = I(T) – ψ – cω(∙)(> 0) и вспомним, что ∂s(∙/∂θ< 0 и ∂ω∙/∂θ> 0. Из этих соотношений и теореме об огибающей следует, что

Что и требовалось доказать.

ПРИЛОЖЕНИЕ VIII.2 СУЩЕСТВОВАНИЕ РАВНОВЕСИЯ СО ВЗАИМНЫМ СДЕРЖИВАНИЕМ

Каковы условия, при которых равновесие со взаимным сдерживанием не существует? Из условия VIII.1 следует, что такое равновесие (λ^k, Т) не существует, если один клан считает выгодным вступать в конфронтацию, когда другой клан инвестирует все свои ресурсы в укрепление своей военной силы. Иначе говоря, если для k = i или j, ∃ ψ^k≤ λ ^k[I(T) + R(T)] такое, что ψ^-k=λ^-k [I(T)+R(T)], δV ^k,d(λ ^k, T, ψ^k,d)<δV ^k,w(ψ ^k,ψ^-k)V ^k,c(T, θ) – (c + ψ ^k -ψ^k,d))(1-δ).

В пределе, когда R(T) →0, θ→ 0 (из чего следует, что s()→ 1 и ω()→ 0 и д → 1), равновесие со взаимным сдерживанием (λ^k, Т) не существует тогда и только тогда, когда для k = i или j, λ^k < s^k,w (•) для некоторого осуществимого ψ^k и всех осуществимых ψ^-k. Таким образом, равновесие со взаимным сдерживанием (λ^k, Т) для размещения λ^k не существует, если один клан имеет достаточно сторонников, так что вероятность того, что он победит при конфронтации, выше, чем его доля в доходе.

ПРИЛОЖЕНИЕ VIII.3

СГОВОР И ИГРЫ ПОДЕСТАТА

Игра со сговором

В какой степени клан может ex ante придерживаться обещания вознаградить ex post подеста, который оказывает ему военную помощь? Обозначим как ν_i (m_i, m_k; m_i) вероятность того, что игрок i (клан или подеста) выиграет войну против j или K, учитывая сравнительную военную силу m_j, m_k и m_i. Вероятность победы i убывает в m_j и m_к и возрастает в m_j. (для простоты изложения я опущу параметр m_j в последующих уравнениях). Если игрок участвует в военной конфронтации, ему приходится нести расходы с. V_j – чистая дисконтированная стоимость контроля над Генуей для игрока i. Предположим, что местные кланы выигрывают больше, чем подеста, от контроля над городом, т. е. V_j > V_p, если игрок i – клан[259].

РИС. VIII.2. Игра в сговор

Посмотрим, что произойдет после того, как клан (скажем, клан 1) и подеста вступят в сговор против другого клана и получат контроль над городом (рис. VIII.2). Контролирующему клану придется решать, какое вознаграждение R_p > 0 дать подеста. Как только эта награда объявлена, подеста может либо принять, либо отвергнуть ее и бороться с кланом за контроль над городом. Если он ее принимает, выигрыши составляют V₁ – R_p для клана и R_p для подеста. Если он отвергает ее и борется, ожидаемый выигрыш для каждого – вероятность победы минус издержки на получение контроля минус издержки на войну, а именно (1 – v_p(m₁))V₁ – c и v_p(m₁)V_p – c.