Атрибуты эффективности равновесия со взаимным сдерживанием при эндогенном количестве привилегий
Предположим, что доход от привилегий I(T) возрастает, а доход от пиратства R(T) убывает при количестве привилегий Т. В частности, I′(T) ≥ 0 и R′(T) ≤ 0. Предположим, что функция I(T) + R(T) является строго вогнутой и имеет единственный максимум, который представляет собой экономически эффективное количество привилегий τ ∈ (0, T̅), I′(τ) + R′(τ) = 0. Таким образом, экономически эффективным равновесием со взаимным сдерживанием является τ. Оптимальное равновесие со взаимным сдерживанием для клана k максимизирует его средние выигрыши, а именно Vk,d(λk, T; ψk).
Предположим, что доход от привилегий I(T) возрастает, а доход от пиратства R(T) убывает при количестве привилегий Т. В частности, T(T) > 0 и R'(T) < 0. Предположим, что функция I(T) + R(T) является строго вогнутой и имеет единственный максимум, который представляет собой экономически эффективное количество привилегий т е (0, T), I (т) + R' (т) = 0. Таким образом, экономически эффективным равновесием со взаимным сдерживанием является т. Оптимальное равновесие со взаимным сдерживанием для клана k максимизирует его средние выигрыши, а именно Vk4(\k, T; yk).
Чтобы установить, был ли мир достигнут в ущерб торговому процветанию, нам нужно определить, является ли действительное равновесие со взаимным сдерживанием еще и оптимальным равновесием со взаимным сдерживанием для каждого конкретного клана. Другими словами, действительно ли сотрудничество в приобретении экономически эффективного количества привилегий (которое максимизирует общий прирост) является лучшим, что может сделать каждый клан?[257] Если ответ отрицательный, мы можем заключить, что теоретически потребность поддержания в Генуе политического порядка препятствовала экономической эффективности. Затем мы можем использовать модель для выявления источника этой эффективности.
Интересен случай, когда эффективное количество привилегий влечет за собой положительные инвестиции в военную силу. Формально необходимым условием для равновесия со взаимным сдерживанием (Xk, T), характеризующимся положительными инвестициями в военную силу, является следующее: существует такая положительная инвестиция для одного клана, которая делает конфронтацию выгодной для него, если другой клан не делает инвестиций, т. е. для k = i или j, ∃ ψk≤ λ k[I(T) + R(T)] такое, что δs k,w(ψ k,0)V k,c(T, θ) – (c + ψ k)(1 – δ) > δV k,d(λ k, T; 0). Это условие с большей вероятностью будет выполняться, если значение θ ниже (когда V k,c возрастает в θ), с ниже или δ выше.
Теорема VIII.1 гласит, что когда эффективное равновесие со взаимным сдерживанием характеризуется положительными инвестициями в военный потенциал, оно максимизирует валовый средний выигрыш клана, но не чистый средний выигрыш[258].
Теорема VIII.1
a) Предположим, что равновесие со взаимным сдерживанием (λk, τ) существует, равновесные инвестиции кланов в военную силу ψ k,* (τ) являются строго положительными (без потери общности), ∂2s(∙/∂ψk2 < 0, и ∂2ω(∙)/(∙)/∂ψk2 > 0 для k = i, j (а именно k = i и k = j). Тогда чистый средний выигрыш каждого клана максимзируется в τ.
b) Предположим, что равновесие со взаимным сдерживанием (λk, Т) существует для каждого Т и потенциальных инвестиций в военную силу ψk,d(T), является строго положительным для k = i, j (без потери общности). Тогда, если оптимальное для клана количество привилегий не равно нулю, его чистый средний выигрыш максимизируется при равновесии со взаимным сдерживанием (λk, Т *) таком, что T * < τ и λk∂I(T *)/∂(T) = ∂ψ—k,d(T *)/∂T —λk ∂R(T *)/ ∂T.
Доказательство. При равновесии со взаимным сдерживанием (λk, Т) оптимальные для клана k инвестиции таковы, что ограничение по стимулу в условии VIII.1 ICC-k является обязательным на самой большой осуществимой инвестиции для клана – k, т. е. λ—k[I(T) + R(T)]. Это локальное обязательное ограничение имплицитно определяет ψ—kкак функцию от Т, т. е. ψ—k,d(T). Наиболее выгодное для клана k равновесие со взаимным сдерживанием (Т) – это равновесие, которое максимизирует его доход за период при равновесии со взаимным сдерживанием, т. е. H(T) = λk[I(T) + R(T)] – ψ —k,d(T). Условием первого порядка для максимизации является:
Оцениваемое при Т = τ, это условие первого порядка выполняется тогда и только тогда, когда
Равновесное вложение в военную силу ψk,*(τ) возрастает в Т, если ∂V-k,c/∂T > ∂V-k,d /∂T. По теореме об огибающей
Сходным образом
Отсюда ∂V—k,c/∂T > ∂V—k,d/∂T тогда и только тогда, когда
