В основу исследования возможностей измерения усреднённых значений поля мы положим уравнение (15), из которого будем исходить как из определения. Уравнение это выражает классически описываемый баланс количества движения (импульса) для пробного тела, находящегося в поле. Согласно приведённым выше рассуждениям, каждая компонента поля, например Ex, должна рассматриваться как результат наложения полей всех источников, включая поля от самих пробных тел. Сущность проблемы измерения состоит как раз в решении вопроса о том, в какой мере все эти поля могут быть сопоставлены отдельным источникам. Но мы хотели бы уже здесь подчеркнуть, что для принятого выше определения усреднённых значений поля строгая применимость классического понятия поля остаётся в полной силе; она не подрывается тем, что классическое описание полей, порождаемых пробными телами, справедливо, как мы уже упоминали, лишь в известных пределах. Для однозначности принятого выше определения требуется лишь, чтобы массы пробных тел могли быть выбраны достаточно большими (настолько большими, чтобы можно было пренебречь теми изменениями электромагнитных полей, которые происходят от ускорения пробных тел под влиянием измеряемых полей). Это соображение не связано с рассмотренным в § 3 вопросом о достижимой точности измерения импульса пробных тел в начале и в конце данного промежутка времени. Можно было бы усмотреть в указанном пренебрежении противоречие с атомным (дискретным) характером обмена импульса между электромагнитными полями и материальными телами. Однако здесь нужно иметь в виду, что в рассматриваемой проблеме измерения речь вовсе не идёт о том, чтобы проследить какие-либо определённые элементарные процессы в смысле представления о световых квантах. Так, в описанном выше измерительном устройстве твердый каркас (с которым каждое пробное тело связано до начала и после конца измерения) принимает на себя неконтролируемый импульс (толчок).
В предельном случае, когда возможно классическое описание взаимодействия между цугом электромагнитных волн и достаточно тяжёлым заряженным телом, указанный перенос импульса в точности компенсировал бы импульс, воспринятый пробным телом в течение промежутка времени, затраченного на измерение.
Прежде чем перейти к общему обсуждению проблемы измерения, мы рассмотрим сперва отдельное измерение поля, когда требуется (как в § 3) определить значение Ex, усреднённое по определённой пространственно-временной области, которую мы будем обозначать индексом I, в соответствии с обозначениями предыдущего параграфа. Согласно основному уравнению (15) мы получим для приращения импульса пробного тела выражение
p
(II)''
x
-
p
(II)'
x
=
I
V
I
T
I
E
(I)
x
+
E
(I,I)
x
.
(45)
Здесь E(I)x — среднее значение того поля Ex, которое было бы в области I, если бы в момент времени t' не было предпринято измерение импульса пробного тела. Величина же E(I,I)x есть среднее значение той части поля, которая происходит от этого измерения импульса; основанная на классической теории оценка этой части поля даётся выражением (43), в котором нужно положить области I и II совпадающими.
Согласно изложенному в § 3, входящую в формулу (45) сумму усреднённых полей E(I)x и E(I,I)x можно определить с любой точностью, если только взять I достаточно большим. Однако чем больше I, тем больше будет неподдающееся контролю значение E(I,I)x, а в силу этого для точности, достижимой при помощи только что описанного простого измерительного устройства, будет существовать верхняя граница. Согласно (45) указанная точность даётся формулой
E
(I)
x
~
p
(I)
x
I V
I T
I
+
E
(I,I)
x
.
(46)
Имея в виду, что входящая в (43) величина D(I,I)x может быть указана только с допуском x(I), и учитывая соотношение .неопределённости (16), мы получаем из (46) следующее выражение для E(I)x:
E
(I)
x
~
h
IxIVITI
+
I
x
I
V
I
T
I
|
A
(II)
xx
|.
(47)
Наименьшее значение этого выражения, очевидно, равно
m
E
(I)
x
~
h
|
A
(II)
xx
|
1/2
.
(48)
а в случае LI cTI это число равно как раз критической величине Q. Правда, в том случае, когда LI велико по сравнению с TI величина (48) будет существенно меньше того выражения (24), которое рассматривалось Ландау и Пайерлсом как абсолютный предел измеримости полевых величин. Но если бы величина (48) действительно была неизбежным пределом точности измерения поля, то мы бы всё же вынуждены были прийти к заключению, совпадающему с точкой зрения указанных авторов, а именно, что формальный аппарат квантовой электродинамики не допускает, будто бы, проверки в собственно квантовой области, так что вся теория поля имела бы реальный физический смысл только в классическом предельном случае.