Мы исследовали выше те физические требования, какие должны предъявляться к свойствам пробных тел. Теперь мы перейдём к более подробному рассмотрению тех электромагнитных действий пробных тел, которые сопровождают измерения поля; действия эти весьма существенны для решения вопроса об измеримости. Согласно сказанному выше мы будем при этом рассматривать каждое пробное тело как непрерывное распределение зарядов, равномерно заполняющее пространственную область, по которой производится усреднение; при измерении импульса это распределение зарядов испытывает параллельное перемещение. Порождаемые при этом электромагнитные поля будут нами вычисляться сперва на основе классической электродинамики, и лишь затем будут рассмотрены вносимые квантом действия ограничения применимости такого способа расчёта.
Рассмотрим две пространственно-временные области I и II, имеющие объёмы VI и VII и протяженности во времени TI и TII. Поставим вопрос: каково будет электромагнитное поле в точке (x2, y2, z2, t2) области II, возникающее в результате измерения значения Ex усреднённого по области I. Мы будем считать, что в объёме VI первоначально находятся два распределения электрических зарядов с постоянными плотностями +I и -I. За время от t'I до t'I+tI первое распределение зарядов испытывает неравномерное параллельное перемещение в направлении оси x на отрезок D(I)x; в течение времени от t'I+tI до t''I оно остаётся в покое в смещенном положении; наконец, за время от t''I до t''I+tI оно вновь передвигается неравномерно в направлении оси x и возвращается при этом в свое первоначальное положение, в котором заряды нейтрализуются. В соответствии с требованием, поставленным в предыдущем параграфе, мы примем далее, что tI весьма мало по сравнению с TI = t''I - t'I и что D(I)x мало не только по сравнению с линейными размерами объёма VI (по которому производится усреднение), но и по сравнению с ctI.
Таким образом, в случае исчезающе малых tI источники искомого поля могут быть выражены через некоторую поляризацию и некоторую плотность тока. Поляризация существует в области I в промежутке времени от t'I до t''II она направлена по оси x и имеет постоянную плотность R(I)x = D(I)x. Плотность тока существует только в моменты времени, примыкающие к t'I и t''I и может быть записана в виде
J
(I)
x
=
I
D
(I)
x
[
(t-t
'
I
)-
(t-t
''
I
)],
(36)
где используется дельта-функция, определяемая формулой (3). Используя дельта-функцию, можно также представить значение поляризации для любого момента времени t в виде
P
(I)
x
=
I
D
(I)
x
t''I
t'
(t-t
1
)
dt
1
.
(37)
Эти источники порождают в пространственно-временной точке (x2, y2, z2, t2) поле, компоненты которого могут быть вычислены по известным формулам
E
(I)
x
=-
(I)
x2
-
1
c
(I)
x
t
2
;
E
(I)
y
=-
(I)
y2
;
E
(I)
z
=-
(I)
z2
,
H
(I)
x
=0;
H
(I)
y
=
(I)
x
z
2
;
H
(I)
z
=-
(I)
x
y
2
(38)
Здесь мы обозначили компоненты поля латинскими буквами, чтобы отличить это поле от того, которое подлежит измерению. В формуле (38) величина (I) обозначает запаздывающий скалярный потенциал
VI
P
(I)
x
t
2
-
r
c
(I)
=
dv
1
,
x
2
p
(39)
а (I)x — компоненту запаздывающего векторного потенциала
VI
I
(I)
x
t
2
-
r
(I)
x
=
1
c
dv
1
,
c
r
(40)
причём r есть расстояние между пространственными точками (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2). Выражение (36) может быть также написано в виде
J
(I)
x
=-
I
D
(I)
x
t
''
I
t
'
I
t1
(t-t
1
)
dt
1
.
(41)
На основании (37) и (41) мы можем получаемые из (38), (39) и (40) выражения для компонент поля представить в виде
E
(I)
x
=
I
D
(I)
x
VI
dv
1
TI
dt
1
A
(12)
xx
;
E
(I)
y
=
I
D
(I)
x
VI
dv
1
TI
dt
1
A
(12)
xy
,
H
(I)
x
=
0,
H
(I)
y
=
I
D
(I)
x
VI
dv
1
TI
dt
1
B
(12)
xy
(42)
Здесь использованы сокращенные обозначения (2) и выписаны только некоторые, типические компоненты.
В силу свойств дельта-функции легко видеть, что даваемые формулами (42) компоненты поля всегда остаются конечными и даже не превышают значений порядка ID(I)x ни в одной пространственно-временной точке (x2, y2, z2, t2). Именно такой порядок величины имеют, как мы уже говорили (при обсуждении возражений Ландау и Пайерлса) в § 3, те электромагнитные силы, которые возникают при измерении импульса пробного тела в течение времени t. Эти силы не могут заметно возрасти и в последующее время, поскольку сразу же после измерения импульса тело испытывает противоположный толчок, в результате которого оно приходит в состояние покоя; все эти обстоятельства математически выражаются в идеализированном виде формулами (36) и (37).
Нас особенно интересуют значения компонент поля, усреднённые по области II. Эти средние значения получаются из (42) после интегрирования в соответствующих пределах по координатам и времени; они выражаются формулами
E
(I,II)
x
=
D
(I)
x
I
V
I
T
I
A
(I,II)
xx
;
E
(I,II)
y
=
D
(I)
x
I
V
I
T
I
A
(I,II)
xy
;
H
(I,II)
x
=
D
;
H
(I,II)
y
=
D
(I)
x
I
V
I
T
I
B
(I,II)
xy
.
(43)