коэффициентами которого являются рациональные числа. После элементарного преобразования это уравнение может быть превращено в уравнение с целыми коэффициентами. Поэтому в определении алгебраического числа можно говорить и об уравнении с целыми коэффициентами. Если все коэффициенты уравнения суть числа целые, а коэффициент при х nравен, кроме того, еще и единице, то корень такого уравнения называется целым алгебраическим числом; если нет этого второго условия, то мы имеем дробное алгебраическое число.
2. Как понять это математическое определение, которое, как вся математика, блещет чрезвычайно резким формализмом, не позволяющим философской мысли даже пошевельнуться? Если данное число удовлетворяет тому или иному уравнению, то что это значит? Что такое прежде всего само уравнение? Оно говорит нам о ряде действий, которые необходимо произвести над каким–нибудь числом, чтобы получить другое число. Какие же это действия? Уравнение показывает, что это прежде всего обычные четыре «арифметические» действия, а затем т. н. алгебраические действия, т. е. возведение в степень и извлечение корня (в которых, конечно, нет ничего алгебраического и которые относятся все к той же арифметике). Другими словами, левая часть уравнения есть попросту определенная арифметико–алгебраическая функция корней уравнения. Эта функция, оказывается, равняется целому (или, что то же, рациональному) числу. Другими словами, какие бы арифметико–алгебраические операции мы ни производили над целым числом, т. е. какую бы алгебраическую функцию ни брали от этого числа, мы можем прийти только к целому числу. Алгебраическое число есть такое число, любая алгебраическая функция которого есть целое число. Произведя любое из шести арифметико–алгебраических действий над данным числом, мы всегда можем получить целое число. Если даже мы имеем иррациональное число, мы всегда можем составить такое уравнение, т. е. произвести ряд таких действий над этой иррациональностью, чтобы прийти от этой иррациональности к целому числу.
Но что же это значит? Это и значит, что в данном случае мы рассматриваем число не само по себе, но как потенцию возможных действий над ним, как потенцию всех его инобытийных судеб. По данному числу, если оно алгебраическое, мы уже сразу видим, что над ним можно производить любые арифметико–алгебраические действия и оно не выйдет за пределы своей общей арифметико–алгебраической категории. Реально вовсе и не обязательно производить над ним эти действия, и потому в нем—только потенция его инобытийных судеб. Но эта потенция здесь вполне определенная; это потенция рациональности или даже целости. Всякое алгебраическое число, включая иррациональность, является потенциально целым числом. Если мы имели бы какой–нибудь √3, то стоит эту иррациональность возвысить в квадрат, как мы получаем самое обыкновенное целое число «3». Таким образом, даже иррациональность, если она—алгебраическая (а ниже мы увидим, что существуют и не алгебраические иррациональности), потенциально есть не что иное, как целое число. Правда, из всякого целого числа при помощи тех или иных арифметикоалгебраических операций можно, наоборот, получить иррациональные числа. Но тогда нужно сказать, что целость, рациональность и иррациональность представляют собою некую единую область, смысловая печать которой лежит на каждом числе, входящем в эту область. Каждое число несет с собою потенцию этой общеалгебраической области; и оно не может выйти за пределы той судьбы, которая уготована ему в этой области.
3. а) Зададим себе вопрос: в чем же заключается это единство всей алгебраической области? Каков принцип этой «алгебраичности»? Заметим, что при таком широком понимании алгебраичности сюда войдут и все операции над комплексными числами, потому что операция — 1 входит в общеалгебраические операции решительно на тех же самых общих основаниях. Правда, тут не будет фиксироваться спецификум самого этого математического феномена i или a+bi, но все действия над i войдут в алгебру, очевидно, на общем основании, т. е. в смысле обычных же арифметико–алгебраических действий. Итак, в чем заключается принцип самой алгебраичности в этом контексте? Можно даже попросту сказать: все типы числа, которые мы до сих пор рассматривали, включая нуль и бесконечность, тоже, очевидно, входят в эту алгебраическую область. Все они есть теперь для нас нечто общее, что мы называем алгебраическим (хотя все это по существу, как мы знаем, есть чистейшая арифметика). В чем же принцип этой «алгебраичности»?
