Обратимся для определенности к рисунку на с. 282. Прежде всего заметим, что любую фигуру, состоящую из прямых линий, можно разбить на соответствующее число треугольников. Рассмотрим треугольник ABC на плоскости Т (рис. б) и его перспективное изображение треугольник abc на плоскости К (рис. а). По теореме Дезарга соответственные стороны этих треугольников пересекаются в одной точке на основании картины tt. Именно поэтому в наших построениях мы продолжили сторону ВС до пересечения с линией основания tt в точке М (рис. б), а затем перенесли эту точку ни линию tt в плоскости К. Так мы нашли неизвестную нам точку пересечения образа линии ВС с линией основания tt (точка m на рис. а). Аналогично найдена и точка п. Зная точки пересечения m, a, n и их точки схода Fl и F2, легко построить перспективу прямоугольника ABCD.
Теорема Дезарга и недоступные точки схода. Случается, что при построении перспективного изображения художник, а еще чаще архитектор сталкиваются с такой трудностью: точка схода некоторой линии оказывается за пределами картины (чертежа). Покажем, как теорема Дезарга может помочь в этом случае.
Пусть на плоскости картины К даны две прямые а и b, идущие в недоступную точку схода (в качестве одной из таких прямых чаще всего выступает линия горизонта). Требуется через некоторую точку С∈К провести прямую с в недоступную точку схода. Выберем на плоскости К произвольную точку L и проведем через эту точку три произвольных луча l1, l2, l3. Лучи l1, и l3 пересекут прямые а и b в точках А, В и А', В' соответственно. Через точку С проведем прямые МА и СВ, пересекающие луч l2 в точках М и N. Наконец, проведем прямые МА' и NB' до пересечения в точке С'. Как следует из теоремы Дезарга, прямая с, проходящая через точки С и С', пересекается с прямыми а и b в одной точке, т. е. прямая с и является искомой прямой, идущей в недоступную точку схода.
Проведение прямой с в недоступную точку схода с помощью теоремы Дезарга
Мы познакомились с геометрическими методами отображения трехмерного пространства на плоскость картины. Методы эти составляют предмет изучения самостоятельной науки — начертательной геометрии, которая в свою очередь стимулировала развитие еще одной ветви математики — проективной геометрии. Но эти же геометрические методы живут полнокровной жизнью и в искусстве живописи. Они помогают художнику разрешать извечный парадокс искусства живописи: заставить зрителя в плоском холсте, покрытом красками, увидеть реальный трехмерный мир, окружающий человека. В разные эпохи эта "вечная" проблема живописи решалась по-разному, в том числе и разными геометрическими методами, в чем легко убедиться, прочитав следующую главу.
И, поистине, живопись — это наука и законная дочь природы, ибо она порождена природой...
Геометрия и живопись... Пути науки и искусства переплетались в них на протяжении столетий. Геометрия дарила живописи новые изобразительные возможности, обогащала язык живописи, а живопись эпохи Возрождения стимулировала исследования по геометрии, дала начало проективной геометрии. Сейчас нам предстоит взглянуть на геометрию с неожиданной, быть может, стороны. Мы увидим, что геометрия, будучи могучей ветвью древа математики, является в то же время и тем связующим стержнем, который проходит через всю историю живописи.
В самом деле, существуют три принципиальных геометрических метода отображения трехмерного пространства на двумерную плоскость картины: метод ортогональных проекций, аксонометрия и перспектива (см. рис. на с. 277). Перспектива, как явствует из рисунка, может быть прямой или обратной. Все эти принципиальные возможности изображения пространства на плоскости были реализованы в искусстве живописи, причем в разных пластах художественной культуры каждый из этих методов находил свое наиболее полное и чистое выражение. Так, система ортогональных проекций составила геометрическую основу живописи
Древнего Египта; аксонометрия (параллельная перспектива) характерна для живописи средневекового Китая и Японии; обратная перспектива — для фресок и икон Византии и Древней Руси; прямая перспектива — это геометрический язык ренессансной живописи, а также станковой и монументальной живописи европейского искусства XVII века и русского искусства XVIII- XIX веков.
