Но это не все. Выше мы описали некоторую непрерывность, которая является настоящим пространством. Это — пространство, описанное одним из моих пальцев. Но у меня несколько пальцев (а с интересующей нас точки зрения любая точка моей кожи могла бы служить таким пальцем). Опишут ли мои различные пальцы одно и то же пространство? Конечно, да, но что, собственно, это значит? Это предполагает определенную совокупность свойств, которую было бы нелегко выразить на обычном языке, но я надеюсь ее объяснить, если мне позволят прибегнуть к некоторым символам. Я рассматриваю два пальца, которые я назову α и β. Пусть пальцем ее будет, например, указательный палец правой руки, которым мы воспользовались для определения последовательностей S, S', S", … Мы запишем это так:
S ≡ S' (mod α).
Это означает, что если движения, соответствующие S, восстанавливают осязательное ощущение пальца α, то то же самое действие окажут и движения, соответствующие S', и наоборот. Аналогичным образом я напишу:
S1 ≡ S'1 (mod β),
чтобы выразить этим, что если движения, соответствующие S1, восстанавливают осязательное ощущение пальца β, то то же самое произведут и движения, соответствующие S'1.
Теперь я предположу, что существуют две особенные последовательности мускульных ощущений s и s1 определяемые следующим образом: я предполагаю, что палец β испытывает осязательное ощущение от прикосновения к некоторому предмету; произведем движения, соответствующие s, это ощущение исчезнет, но в конце концов ощущение от прикосновения испытает палец α. Я знаю по опыту, что это будет иметь место всякий раз, когда перед тем, как произошли эти движения, палец β испытывал прикосновение, или по крайней мере почти всякий раз (я говорю «почти», ибо для удачи опыта необходимо, чтобы за время между двумя прикосновениями предмет не сдвинулся с места). На нашем обычном языке (который был бы понятнее для нас, но который я не смею употреблять, так как говорю о существах, не знающих еще геометрии) мы бы сказали, что движения, соответствующие s, привели палец α на место, занятое первоначально пальцем β. В случае s1, наоборот, соответствующие движения приводят палец β на место, первоначально занимаемое пальцем α. Если две эти последовательности s и s1 существуют, то соотношение
S ≡ S' (mod α).
будет иметь следствием соотношение
s + S + s1 ≡ s + S' + s1 (mod β).
В этом легко убедиться непосредственно, вспомнив смысл этих символов. Отсюда можно вывести без труда, что два пространства, образованные α и β, изоморфны и, в частности, они имеют одно и то же число измерений.
Дело обстояло бы иначе, если бы последовательности s и s1 не существовали. Действительно, допустим, что невозможно найти такую последовательность движений, при которой на смену ощущения прикосновения пальца β к некоторому предмету появлялось бы ощущение прикосновения пальца α к тому же предмету. Как бы мы стали рассуждать в этом случае? Мы сказали бы, что палец β ощущает предмет, не находясь с ним в одной и той же точке пространства, что он его ощущает на расстоянии. Если бы это было не так, то всякий раз, когда палец β ощущал бы предмет, последний должен был бы находиться в одной и той же с ним точке A пространства. В таком случае должна была бы существовать последовательность движений, приводящих палец α в точку А. И так как предмет находится в точке A, то палец α должен был бы ощущать предмет, и это должно было бы происходить всегда. Итак, предполагая, что нет последовательности движений, обладающей этим свойством, приходится допустить, что палец ощущает предмет на расстоянии, т. е. что ощущения, испытываемого этим пальцем, недостаточно для определения положения предмета в пространстве, т. е., наконец, что пространство должно обладать большим числом измерений, чем физическая непрерывность, полученная с помощью пальца β указанным нами способом.
Я предположу, например, что пространство имеет четыре измерения, и обозначу буквами x, y, z, t четыре координаты. Я предположу, что палец β ощущает прикосновение предмета всякий раз, когда три координаты x, y и z одни и те же для пальца и предмета, каково бы ни было значение четвертой координаты; с другой же стороны, я предположу, что палец α ощущает прикосновение предмета всякий раз, когда три координаты x, y, t одни и те же для предмета и для пальца, какова бы ни была при этом координата z. Воспользуемся теперь нашими правилами для построения физической непрерывности, образованной с помощью β. Так как координата t не играет никакой роли, то мы найдем у этой непрерывности лишь три измерения, соответствующие трем координатам x, y, z. Точно так же физическая непрерывность, полученная с помощью α, будет иметь три измерения, соответствующие координатам x, y и t. Но мы не сможем найти такой последовательности движений, соответствующей последовательности мускульных ощущений s, которая бы заменяла ощущение прикосновении α ощущением прикосновения β.
