Если же система не изолирована, то опять-таки, если мы станем рассуждать вполне строго, то окажемся в затруднении, потому что невозможно станет выражать законы, управляющие этой системой, не считаясь с действием внешних тел. Но существуют системы, почти изолированные, окруженные телами, достаточно близкими, чтобы их можно было видеть, но достаточно удаленными, чтобы действием их можно было пренебречь. Именно это и имеем мы в случае Земли и звезд. Мы можем тогда выражать законы нашего земного мира так, как если бы звезды не существовали, и в то же время относить этот мир к системе координатных осей, вполне определенной и неизменно связанной с этими звездами. Опыт показывает, что выбор этих осей не играет никакой роли и что уравнения не изменятся, если произвести замену осей. Совокупность возможных изменений осей образует, как известно, группу шести измерений.
Откажемся теперь от нашего обычного пространства, заменим наши уравнения другими, эквивалентными им в том смысле, что будет соблюден «параллелизм» явлений. Всякий раз, когда мы будем иметь дело с почти изолированной системой, обнаружится некоторый общий факт, именно существование определенного свойства инвариантности. Обнаружится определенная группа преобразований, которые не изменяют уравнений; эти преобразования уже не будут означать изменения осей координат, их смысл может быть любым, но группа, образованная этими преобразованиями, должна оставаться всегда изоморфной группе шести измерений, о которой мы говорили выше, ибо в противном случае не было бы параллелизма.
Так как эта группа играет во всех случаях важную роль, так как она изоморфна группе преобразования координат в обычном пространстве, так как она вследствие этого тесно связана с нашим трехмерным пространством, то в силу всего этого наши уравнения получают наипростейшую форму, когда эту группу выдвинут самым естественным образом, т. е. введя пространство трех измерений.
И так как эта группа сама изоморфна группе перемещений каждого из наших членов, рассматриваемых как твердое тело, так как свойство твердых тел двигаться, подчиняясь законам группы, есть в конечном счете лишь частный случай свойства инвариантности, на котором я остановил свое внимание, то, как мы видим, нет существенного различия между физическим основанием, побуждающим нас приписывать пространству три измерения, и психологическими основаниями, развитыми в первых параграфах этой главы.
Я хотел бы добавить еще одно замечание, которое лишь косвенным образом связано со всем предыдущим. Мы видели выше, сколь велико значение Analysis situs, и я объяснил, что именно он представляет настоящую область геометрической интуиции. Но существует ли эта интуиция? Я напомню, что были сделаны попытки обойтись без нее и что Гильберт пытался основать геометрию, которую назвали рациональной, так как она свободна от всякого обращения к интуиции. Она основана на определенном числе аксиом или постулатов, которые рассматриваются не как интуитивные истины, но как неявные определения. Эти аксиомы разбиты на пять групп. Относительно четырех из этих групп я имел уже случай сказать, в какой мере законно принимать их лишь за неявные определения.
Я хотел бы остановиться здесь на одной из этих групп, на второй группе «аксиом порядка». Чтобы было понятно, в чем здесь дело, я приведу одну из этих аксиом. Если на какой-нибудь линии точка
В таком случае можно пользоваться этими аксиомами, доказав предварительно, что они не противоречат друг другу, и можно будет, основываясь на них, построить геометрию, в которой не будет необходимости в фигурах и которую сможет понять человек, не имеющий ни зрения, ни осязания, ни мускульных ощущений и представляющий лишь один чистый интеллект.
Да, человек этот, может быть, понял бы ее в том смысле, что увидел бы, как положения этой геометрии логически вытекают одно из другого, но совокупность этих положений показалась бы ему искусственной и странной, и он не понял бы, почему предпочли именно ее множеству других возможных совокупностей.
