Если моя гипотеза подтвердится, то мы сможем ответить и на второй вопрос, о котором говорилось ранее в пункте (3) — на вопрос, почему Платон строил свой элементарный квадрат из четырех субэлементарных треугольников (полуквадратов) вместо двух, а элементарный равносторонний треугольник — из шести субэлементарных полу треугольников вместо двух. Если мы взглянем на рис. 1 и рис. 2, то увидим, что выделенной точкой на них оказывается центр описанной окружности и что на обоих рисунках представлены также ее радиусы. (На рис. 2 представлен еще и радиус вписанной окружности, однако Платон, по-видимому, имел в виду радиус именно описанной окружности, называя его при изложении метода построения равностороннего треугольника «диагональю» — см. «Тимей», 54 d-e и 54 b.)
Если мы теперь впишем элементарный квадрат и равносторонний треугольник в круг с радиусом r, то обнаружим, что сумма сторон этих двух фигур будет приближаться к , т.е. чертеж Платона предлагает одно из простейших приблизительных решений проблемы квадратуры круга, как показано на трех наших рисунках. В свете всего сказанного можно предположить, что платоновская гипотеза и его готовность «признать победителем» того, кто сможет его опровергнуть, о чем мы говорили в пункте (3), относятся не только к общей проблеме несоизмеримости иррациональных величин, но и к частной проблеме выяснения того, выражает ли сумма 2+3 площадь единичного круга.
Я должен еще раз подчеркнуть, что мне неизвестны непосредственные свидетельства, подтверждающие мою точку зрения на этот вопрос, однако если мы рассмотрим приведенные здесь косвенные свидетельства в ее пользу, то она может показаться не совсем невероятной. Я не думаю, что она менее вероятна, чем гипотеза Корнфорда, и если она верна, то с ее помощью мы могли бы объяснить смысл соответствующих фрагментов Платона.
(5) Если имеет какой-то смысл вывод, к которому мы пришли в пункте (2) настоящего примечания, согласно которому Платон провозгласил, что одной арифметики недостаточно, но, кроме нее, следует знать еще и геометрию, а также если верно наше предположение, что его внимание к этой науке было связано с открытием квадратных корней из двух и трех, то некоторый свет может быть пролит также на платоновскую теорию идей и на смысл широко известных замечаний Аристотеля по этому поводу. Эти соображения помогли бы нам объяснить, почему учение пифагорейцев, согласно которому вещи (или формы) являются числами, а этические идеи — числовыми отношениями, должно было исчезнуть, уступив место, как это случилось в «Тимее», доктрине, в соответствии с которой элементарные формы, пределы «»— см. отрывок из «Менона», 75 d-76 а, о котором мы говорили ранее) или идеи вещей являются треугольниками. Кроме того, они объяснили бы нам также, почему следующее поколение академиков возродило учение пифагорейцев. Как только шок, вызванный открытием иррациональности, прошел, математики стали привыкать к идее, что, вопреки всему, иррациональные величины являются числами, поскольку их можно сравнивать по величине с другими (рациональными) числами. На этом этапе стало исчезать и предубеждение против пифагореизма, хотя теория, согласно которой формы являются числами или числовыми отношениями, после открытия иррациональных величин претерпела существенные видоизменения (что, по-видимому, не в полной мере осознавали сторонники новой теории). См. также «Дополнение I» в конце тома 1.
