Хотя некоторые математики прошлого века достигли изумительных успехов и открыли всевозможные замечательные методы исследования, которые прежде были не известны древним, тем не менее есть в их принципах нечто такое, что к великому позору столь знаменитой очевидности положений геометрии вызывает много споров и дискуссий. Я смею думать, что эти споры и сомнения, возникающие в результате использования бесконечно малых количеств в указанных методах, легко могут быть исчерпаны в результате простого рассмотрения одного отрывка из несравненного трактата г-на Локка «О человеческом разуме» (кн. II, гл. 17, § 7), где этот автор, касаясь вопроса о бесконечности, с рассудительностью и ясностью, которая так свойственна ему, говорит замечательные слова:
«Хотя наша идея бесконечности вытекает из созерцания величины и бесконечного нарастания величины, которое ум может произвести через повторные прибавления каких угодно частей, однако, я полагаю, мы вызываем большую путаницу в наших мыслях, когда соединяем бесконечность с какой-нибудь предполагаемой идеей количества, которую ум, как считают, может иметь, и, таким образом, начнем говорить или рассуждать о бесконечной величине, например о бесконечном пространстве или бесконечной продолжительности. В самом деле, наша идея бесконечности есть, на мой взгляд, бесконечно возрастающая идея. Но идея любой величины, которая имеется в уме, сама себя ограничивает во время своего нахождения в душе (как бы ни была она велика, она не может быть больше того, что она есть), и присоединять к ней бесконечность — значит прилагать постоянную меру к возрастающей величине. Поэтому я не считаю незначительной тонкостью свое утверждение, что мы должны старательно различать между идеей бесконечности пространства и идеей бесконечного пространства» [1].
357
Я не сомневаюсь, что если то, что говорит г-н Локк, будет mutatis mutandis [2] применено к бесконечно малым количествам, то это избавит нас от неясности и путаницы, которая в противном случае сделает непонятными самые крупные достижения современного анализа. Ибо тот, кто вместе с г-ном Локком должным образом оценит различие, которое существует между бесконечностью пространства и пространством бесконечно большим или малым, и учтет, что мы обладаем идеей первого, но не обладаем идеей последнего, едва ли будет стремиться выйти за пределы известного и говорить о бесконечно малых частях, или partes infinitesimae [3] конечных количеств и еще меньше — об infinitesimae infinitesimarum [4] и т. д. и тем не менее последнее очень характерно для тех, кто пишет о флюксиях или дифференциальном исчислении. На бумаге они изображают бесконечные различных порядков, как будто бы в их уме есть идеи, соответствующие этим словам и знакам, или будто не заключено противоречия в том, что могут одновременно существовать бесконечно малая линия и другая линия, в бесконечное число раз меньшая, чем первая. Для меня совершенно ясно, что мы не можем пользоваться знаком, если нет идеи, соответствующей ему [5]. В равной степени ясно и то, что у нас нет идеи бесконечно малой линии; более того, очевидно, что вообще невозможно существование такой вещи, ибо любая линия, какой бы малой она ни была, всегда будет делима на части еще меньшие, чем она. Следовательно, не может существовать линия quavis data minor [6], или бесконечно малая.
Далее, отсюда совершенно очевидно следует, что бесконечно малая величина даже первого порядка есть просто ничто, о чем известный математик д-р Уоллес пишет в 95-й теореме своей «Арифметики бесконечных», где он делает асимптотическое пространство, заключенное между двумя асимптотами и кривой гиперболы, своего рода последовательностью reciproca primanorum [7] так, что первый член последовательности, а именно асимптота, возникает в результате деления 1 на 0. Поэтому поскольку единица, т. е. любая конечная линия, деленная на 0, дает асимптоту гиперболы, или бесконечную линию, то отсюда с необходимостью следует, что конечная линия, деленная на бесконечную, в частном дает 0, т. е. что pars infinitesima [8]
358
конечной линии есть именно ничто. Ибо в силу самой природы деления делимое, разделенное на частное, дает делитель. Сейчас человека, говорящего о бесконечно малых линиях, едва ли заподозрят в том, что он ничего под ними не подразумевает, но если он понимает их как реальные конечные количества, то попадает в безвыходные затруднения.
Рассмотрим вкратце спор между г-ном Ньювентейтом [9] и г-ном Лейбницем. Г-н Ньювентейт допускает, что бесконечно малые первого порядка являются подлинными количествами, но differentiae differentiarum [10], или бесконечно малые следующих порядков, он отбрасывает, приравнивая их к ничто. Это то же самое, как если бы сказать, что квадрат, куб или другая степень реального количества равны ничто, но это явно нелепо.
