На отрезке столько же точек, сколько на квадрате, построенном из этих отрезков. И это при том, что бесконечное число отрезков образуют квадрат. На кубе, построенном на основании этого квадрата, точек столько же, сколько и на отрезке. Как пишет сам Кантор, он не мог поверить своим расчетам. Но ошибки не было, и результат пришлось признать.
Бесконечность за рамками здравого смысла и законов существования. Допустим, мир состоит из бесконечного количества элементов, и мы их все пронумеровали. Число объектов с четными номерами равно числу объектов с нечетными — тут все нормально. Но как относиться к тому, что пронумерованных четными числами объектов столько же, сколько всех объектов? Часть целого не может быть равна целому. Но она равна, если мы оперируем с бесконечностью. От этого факта возникает интеллектуальный дискомфорт.
Для оперирования бесконечными множествами Кантор придумал трансфинитные числа. Финитные числа — конечные величины. Приставка «транс» означает бесконечные величины. Из этих чисел он строит специальную трансфинитную арифметику.
Основа трансфинитной арифметики — первая буква еврейского алфавита «ℵ» (алеф). Думаю, Кантор не случайно взял именно эту букву. Мистики обозначают ею точку абсолютного знания, с которой видно все и понятно сразу, без объяснений.
Алеф — что-то типа нуля в десятичной системе, только в другом смысле. Обычные числа бесконечно делимы вглубь — ухватывают уходящую вниз бесконечность. Трансфинитные числа вывернуты наоборот, ухватывают уходящую вверх бесконечность.
Смысл трансфинитных чисел — отразить разные уровни бесконечности. Первое такое число называется алеф (ноль) — «ℵ0». Им обозначаются счетные множества, которые можно пронумеровать. Второе число алеф1 «ℵ1» — это 2ℵ1 (2 в степени «алеф1»), обозначающее первое несчетное множество. Следующее идет число алеф2 — это 3ℵ1 (3 в степени «алеф1»). И так далее. Последующее трансфинитное число бесконечно больше предыдущего. По Кантору эти числа в совокупности охватывают бесконечность.
У обычных чисел есть аналоги в реальном мире. Например, обычная единица выражает один предмет — одно яблоко. У трансфинитных чисел нет аналогов в нашем мире. Потому они и названы таким нечеловеческим термином. Число алеф1 больше, чем все элементарные частицы в видимой Вселенной. Число алеф2 — величина за границами воображения. Не создано множества, мощность которого отражала бы это число.
Нас не смущает тот факт, что любое натуральное число содержит в себе бесконечно много образующих его частей, и мы свободно оперируем ими. Но нас смущает, что любое трансфинитное число ухватывает бесконечность вверх. Если преодолеть это смущение, как утверждают математики, трансфинитными числами можно оперировать.
Теория множеств — нечто качественно новое, отличающееся от всех предыдущих штурмов бесконечности. Она имела глубину и гармонию, а ее единственным недостатком было несоответствие интуиции. Главное достижение Кантора: он показал, что есть разные бесконечности. И если они не равны, значит, ими можно оперировать.
Математическое сообщество живо интересуются новой теорией. В самом начале ХХ века Рассел выявил парадокс. Суть парадокса: все существующее можно поделить на два типа множеств. Одни не содержат себя в качестве своего элемента, другие содержат.
Пример первого типа множества: множество всех башмаков не является башмаком. Пример второго множества: множество всех множеств само является множеством. Первое не содержит себя в качестве своего элемента, а второе содержит.
По логике, любое множество принадлежит либо к первому, либо ко второму типу. Но если мы все множества первого типа объединим в отдельное множество, окажется, его нельзя будет отнести ни к первому, ни ко второму типу множеств.
Для описания своего парадокса Рассел выдумал город, где закон предписывает всем быть выбритыми. Еще по закону брадобрей должен брить только тех, кто не бреет себя сам. Как брадобрей может быть бритым? Если будет бриться сам, то принадлежит к людям, кого ему брить нельзя. Это нарушение закона. Если же он не будет сам себя брить, то по закону его должен брить брадобрей, т.е. он должен брить себя сам.
До обнаружения парадоксов теории множеств Пуанкаре живо интересовался темой. После стал говорить, что это болезнь, от которой математику нужно лечить. Пуанкаре отказывается ее замечать и всем другим ученым предлагает делать вид, что никакой бесконечности нет. Тут Пуанкаре уподобляется профессору упомянутого Падуанского университета Кремонини, который предлагал не замечать того, что видно в трубу Галилея.
Как тут не вспомнить градоначальника Бородавкина, писавшего «…втихомолку устав о “неcтеснении градоначальников законами”». Первый и единственный параграф этого устава гласил: «Ежели чувствуешь, что закон полагает тебе препятствие, то, сняв оный со стола, положи под себя. И тогда все сие, сделавшись невидимым, много тебя в действии облегчит»{93}.
