Один из крупнейших математиков ХХ века Харди пишет в исследовании «Апология математики»: «Ничего из того, что я когда-либо делал, не имеет ни малейшего практического значения». Как и Гаусс, король математиков, всю жизнь посвятил решению задач типа, как с помощью циркуля и линейки построить 17-конечную звезду. Он решил эту задачу, и так гордился этим, что завещал высечь такую звезду у себя на могиле.
С развитием естественных наук обнаруживаются закономерности между числами и миром материи. Если бы физические явления не имели математических пропорций, если бы частицы и явления не вели себя по сходному с цифрами алгоритму, математика ничем бы не отличалась от драконоведения, изучающего особенности страны эльфов. Или от богословия, нацеленного на детализацию райского и адского климата. Но математические закономерности дублируют физические, и это настолько неожиданно и серьезно, что дух не может не захватывать от осознания, что это может значить{92}.
Преклонение перед математикой становится выше религиозной веры. Религиозные догмы принимают на веру, и тут есть место для сомнения. В математике нет места для сомнений. Если математические расчеты что-то подтверждали или опровергали, это считалось абсолютным и несомненным доказательством истины. Именно поэтому математическая истина по факту оказывается выше религиозной, требующей веры.
В реальности нет предмет, который изучает математика. Это позволяет использовать ее как оберточную бумагу, в которую можно завернуть что угодно. Позавчера в нее заворачивали геоцентрическую модель. Или что теплота есть следствие теплорода, а флагистон выражает природу огня. Эти фантастические теории не имели ничего общего с реальностью, что не мешало их научно аргументировать и математически обосновать.
Верность расчета сама по себе ничего не доказывает и не опровергает. Как говорил Эйнштейн: «Главное — содержание, а не математика. Математикой можно доказать, что угодно». Расчет привязан к точке отсчета, набору аксиом, от которой он строится. Если ввести в компьютер программу 2+2=5, опирающаяся на эту программу машина выдаст верные расчеты. Но верными они будут относительно программы, но не реальности.
Несмотря на достоинства математики, она содержит в себе абсурды, для понимания которых нужно серьезное математическое образование. Математика противоречива и вся ее поразительная красота — всего лишь иллюзия. Или отражение иного мира.
Неидеальность математики очевидна без специальных знаний хотя бы потому, что она устанавливает ни на нем не основанные запреты (например, на ноль делить нельзя). Ее правила гласят, что каждое число равно самому себе: 5 = 5. И что у каждого числа есть противоположное число. Например, у числа 5 таким числом будет -5. Показатель двух противоположных чисел: при их сложении образуется нуль: 5 + (-5) = 0. Если 0+0=0, значит, нуль является одновременно числом и своей противоположностью. Но как можно быть самим собой и при этом своей противоположностью, т.е. не самим собой?
Математика буксует всеми колесами, когда она касается нуля и бесконечности. Одно из априорных утверждений, т.е. не требующих доказательств: часть меньше целого. Прибавление единицы к любой величине делает эту величину больше, а вычитание — меньше. Все понятно, и с помощью этих истин мы уверенно оперируем в мире величин.
Но стоит оперировать этими истинами с нулем и бесконечностью, как получаются абсурды. Половина нуля равна нулю, а половина бесконечности — целой бесконечности. Сложение, вычитание, умножение и деление дают результаты, не лезущие ни в какие логические ворота. И если от нуля можно было как-то ограничиться, объявив его ничем, то с бесконечностью такой номер не проходит, ибо она есть. Но попытка мыслить ее ведет в тупик. Мысль проваливается в бездну, без конца, края и различий.
Но при всем при этом придется повторить, что математика являлась единственной наукой, которая могла хотя бы поставить перед собой задачу осмыслить бесконечность. Ни у одной другой науки не было возможности даже рот открыть на эту тему.
Во второй половине XIX века немецкий математик Георг Кантор начинает вплотную заниматься темой бесконечности. Так как единая бесконечность никак не мыслится, он пытается уловить ее природу через понимание ее бесконечных частей. Опирается он на изобретенное Аристотелем различение актуальной и потенциальной бесконечности.
Напомню разницу между ними. Например, все существующие числа — актуальная бесконечность. Если писать натуральные числа — это потенциальная бесконечность — величина, стремящаяся к бесконечности, в любом миг имеющая границу.
Точка является промежуточным состоянием между ничем и величиной. Эвклид ее в «Началах» определил, как «То, что не имеет частей». Она тоже стремится к бесконечности, но в отличие от потенциальной бесконечности не к увеличению, а к уменьшению. И как ряд чисел никогда не дойдет до бесконечности, так точка не дойдет до нуля.
