Из цифр и точек состоит бесконечность. Если понятия, из которых состоит целое, мыслятся, значит, есть надежда осмыслить и целое. Цифра и точка мыслятся. Значит, с бесконечностью можно работать. Предполагается, что развитие в этом направлении даст результаты, через которые можно выйти на понимание бесконечности как единого нечто.
Кантор рассуждает: если между элементами одного бесконечного ряда есть взаимное соответствие с элементами другого бесконечного ряда, значит, в двух этих рядах число элементов одинаковое, и эти бесконечности одинаковые. Если соответствия установить невозможно, значит, одна бесконечность меньше или больше другой.
На примере это выглядит так: представьте бесконечный ряд солдат. Параллельно ему стоит второй такой же бесконечный ряд солдат. Если каждый солдат может взять за руку соседа напротив, значит, число солдат в рядах одинаковое. На языке математики это означает, что два множества имеют одинаковую мощность. Если же парности установить не удается, значит, число солдат разное — мощность одного бесконечного ряда больше или меньше другого бесконечного ряда.
Кажется, бесконечный ряд натуральных чисел должен быть в два раза больше ряда четных (или нечетных) чисел. Но это только кажется. Половина бесконечности равна целой бесконечности. Бесконечный ряд натуральных чисел и бесконечный ряд четных (или нечетных) чисел равны — каждое число из одного ряда может взять за руку напротив стоящее число из другого ряда. Или говоря иначе, каждое число в любом ряду можно рассматривать как объект и по порядку пронумеровать: 1 2 3 4…
Кантор делит все ряды чисел на счетные и несчетные множества. Счетные — когда можно посчитать от одной цифры до другой за конечное время. Сколько времени понадобится для счета, мгновение или миллиарды лет — значения не имеет. Главное, что можно начать счет и завершить его.
Несчетное множество — когда счет невозможно начать. Например, между двумя любыми натуральными числами бесконечно много вещественных чисел, то есть чисел, представляющих какую-то величину. И так как дна нет, цифру сколько не дели пополам, до нуля никогда не доделишь, выявить минимальное вещественное число невозможно.
Например, невозможно сказать, какое первое вещественное число идет после нуля. Никакое самое маленькое число, какое вы можете сочинить, не будет первым. Даже если после запятой написать количество нулей, которые заполнят всю Вселенную (0,0000…..1), между нулем и этой цифрой по-прежнему будет бесконечно много более малых чисел.
Это касается не только нуля, а вообще любой цифры. Невозможно назвать первое вещественное число, идущее после любого другого числа. Счет невозможно начать. Можно только сказать, что между нулем и единицей, или между числом 147 и 148 лежит бесконечно много вещественных чисел. Но так как все они умещаются между двумя натуральными числами, их совокупность называется конечным множеством.
Это вне привычного мира с его логикой, и вне нашего воображения. По логике, после нуля идет какая-то первая величина. Но никакая самая малая величина не может быть первой только в силу того, что всякая величина умозрительно делится пополам, и значит, не первая — не самая маленькая и далее неделимая.
Между нулем и первой после него цифрой видится аналогия между тем, что было до Большого взрыва, и первым мигом существования нашего мира. Как невозможно назвать цифру, которая больше нуля, но меньше всех остальных цифр, так невозможно установить первый миг существования нашей Вселенной.
Парменид в труде «О природе» показал, что нет мостика между бытием и небытием. Нельзя представить, что нуль постепенно превращается в величину. Величина появляется сразу. Но что есть самая первая величина после нуля? Попытайтесь осмыслить это и дать ответ. Если понимаете суть вопроса, то на себе почувствуете дыхание бесконечности.
Даже в теории нельзя зафиксировать момент, когда ничто становится величиной. Тут видна непостижимость бытия. Оно монолитно и эту монолитность невозможно нарушить ни в одном месте. Но при этом оно имеет начало, до которого невозможно добраться.
Между счетным и несчетным множеством нельзя установить соответствия. Из этого следует, что несчетные множества бесконечно больше счетных — одна бесконечность больше другой. Кантор показал, что между бесконечностями есть иерархия — каждое последующее множество бесконечно больше предыдущего. Иерархия бесконечностей уходит бесконечно вниз и вверх. Совокупность бесконечностей — целая Бесконечность.
По Кантору, Бесконечность состоит из бесконечностей двух типов: множества величин и континуум-мощности — множества точек. Бесконечные ряды чисел могут быть равны и не равны друг другу. Континуумы (массивы) точек равны на любом объеме. Любое множество точек и чисел бесконечны, но при этом точек бесконечно больше.
