Точнее говоря, при значениях n от n = 1 до n = ∞ (где n — месяцы бессрочного отказа от сотрудничества начиная с первого месяца, то есть месяца с номером 0) ресторан Xavier’s терпит убытки 36/(1 + r)n. В математическом виде это можно записать как сумму бесконечного количества членов[160]
Поскольку r — это норма прибыли, которая должна быть положительным числом, множитель 1/(1 + r) будет меньше 1. Как правило, его называют коэффициентом дисконтирования и обозначают греческой буквой δ. Математическое правило вычисления бесконечных сумм при δ = 1/(1+r)<1 гласит, что эта сумма сводится к конкретному значению, в данном случае к 36/r.
Теперь мы можем определить, решит ли Xavier’s Tapas навсегда отказаться от сотрудничества с конкурентом. Ресторан сравнит прибыль 36 с приведенной стоимостью всех убытков 36, то есть 36/r, и в итоге навсегда откажется от сотрудничества, только если 36 > 36/r, или r > 1. Иными словами, в данной игре отказ от сотрудничества принесет выгоду тогда, когда месячная норма прибыли превысит 100 %, что маловероятно. Следовательно, не стоит ожидать от ресторана Xavier’s отказа от взаимодействия в игре с сотрудничающим конкурентом, если оба используют стратегию «око за око». (То же самое касается ситуации, в которой оба разыгрывают стратегию бесповоротного наказания.) Когда оба ресторана применяют стратегию «око за око», кооперативный исход, при котором они устанавливают высокую цену, — и есть равновесие Нэша в этой игре. Выбор обоими игроками стратегии равноценных ответных действий создает равновесие Нэша, а значит, использование этой условной стратегии решает дилемму заключенных в игре между ресторанами.
Не забывайте о том, что стратегия равноценных ответных действий — лишь одна из многочисленных триггерных стратегий, применяемых игроками в повторяющихся дилеммах заключенных. И она одна из самых «мягких». Таким образом, если стратегия «око за око» подходит для решения дилеммы заключенных в игре между двумя ресторанами, значит, и другие, более жесткие стратегии, могут выполнить эту задачу. Как уже говорилось, стратегию бесповоротного наказания также можно использовать для поддержания сотрудничества как в этой бесконечно повторяющейся игре, так и в других играх.
В. Игры с неизвестной продолжительностьюВ дополнение к анализу игр с конечной и бесконечной продолжительностью хотим предложить более сложный инструмент для решения игр с неизвестной продолжительностью. В некоторых повторяющихся играх участники могут не знать наверняка, сколько именно между ними будет длиться взаимодействие, но иметь определенное представление о вероятности того, что игра продлится еще один период. Например, наши рестораны могут считать, что их повторяющееся сотрудничество будет продолжаться только до тех пор, пока клиенты будут отдавать предпочтение комплексным обедам, но если в течение каждого месяца появляется вероятность того, что клиенты начнут выбирать блюда по меню, характер игры изменится.
Напоминаем, что приведенная стоимость убытка за следующий месяц уже равна произведению δ = 1/(1 + r) на заработанную сумму. Если в дополнение к этому существует только вероятность p (меньше 1) того, что игроки будут сотрудничать и в следующем месяце, то убыток за следующий месяц составит всего лишь произведение p на δ Для ресторана Xavier’s Tapas это означает, что PV убытка 36, понесенного при условии бессрочного отказа от сотрудничества, равно 36 × δ [то же, что и 36 / (1 + r)], когда предполагается, что игра точно продолжится, и всего 36 × p × δ, когда игра продолжится с вероятностью p. Включение в расчеты вероятности того, что игра может закончиться в следующем периоде, означает, что приведенная стоимость убытка 36 меньше (поскольку p < 1), чем в случае, когда игра точно будет продолжаться (то есть когда p предположительно равно 1).
Благодаря включению в расчеты вероятности p мы теперь дисконтируем будущие выигрыши на коэффициент p × δ, а не δ. Мы называем эту величину фактическим коэффициентом дисконтирования R, где 1/(1 + R) = p × δ; при этом между R и p и δ существует следующая зависимость[161]:
Если фактическая норма прибыли на инвестиции составляет 5 % (r = 0,05, а значит, δ = 1/1,05 = 0,95), а вероятность того, что игра продолжится в следующем месяце, равна 50 % (p = 0,5), тогда R = [1 — (0,5)(0,95)] / [(0,5)(0,95)] = 1,1, или 110 %.
