Итак, возьмем же прежде всего определенное количество в отношении, как правильную дробь. Такая дробь, например 2/7, не есть такое определенное количество, как 1, 2, 3 и т. д.; она есть, правда, обыкновенное конечное число, но, как дробь, опосредованное двумя другими числами, которые одно относительно другого суть определенное число и единица, причем единица есть также определенное число. Если отвлечь от их ближайшего соотносительного определения и рассматривать их только по тому, что им свойственно в количественном смысле, как определенным количествам, то вообще 2 и 7 безразличны одно к другому; но так как здесь они выступают, лишь как моменты одно другого, а тем самым и третьего (определенного количества, именуемого показателем), то они тем самым суть не просто 2 и 7, а имеют значение лишь по их относительной определенности. Вместо них можно поэтому взять также 4 и 14 или 6 и 21 и т. д. до бесконечности. Тем самым они начинают приобретать качественный характер. Если бы они были просто определенными количествами, то из 2 и 7 первое было бы просто 2, а второе 7; 4, 14, 6, 21 и т. д. суть уже совсем другое, чем эти числа, и поэтому, поскольку последние были лишь непосредственными определенными количествами, первые не могли бы быть поставлены вместо них. Но поскольку 2 и 7 имеют значение не таких определенных количеств, безразличие их границ снимается; тем самым они с этой стороны приобретают момент бесконеч{162}ности, так как они становятся не просто ими самими, но сохраняется их количественная определенность, уже как сущая в себе качественная — именно определяемая их отношением. Вместо них может быть поставлено бесконечное множество других чисел, лишь бы не изменялась величина дроби в определенности данного отношения.
Но выражение, которое находит себе бесконечность при изображении ее числовою дробью, потому несовершенно, что оба члена дроби, 2 и 7, взятые вне этого отношения, суть обыкновенные взаимно безразличные определенные количества; положение их — быть моментами отношения — есть для них нечто внешнее и безразличное. Равным образом, величина их отношения есть обычное определенное количество, показатель отношения.
Буквы, над которыми оперирует общая арифметика, будучи ближайшим обобщением чисел, уже не имеют свойства обладать определенною числовою величиною; они суть лишь общие знаки и неопределенные возможности всякой определенной величины. Поэтому дробь a/b представляет, по-видимому, более соответственное выражение бесконечного, так как a и b, взятые вне их отношения, остаются неопределенными, и даже отделенные одна от другой не имеют никакого свойственного им частного значения. Но хотя эти буквы положены, как неопределенные величины, смысл их все же состоит в том, что они суть некоторые конечные количества. Так как они поэтому, хотя служат общим обозначением, но все же для определенного числа, то все же для них безразлично быть в отношении, и вне его они сохраняют то же значение.
Если мы рассмотрим ближе, что представляет собою отношение, то окажется, что ему свойственны оба определения, во-первых, определенного количества, а во-вторых, последнего, не как непосредственного, а как имеющего в себе качественную противоположность; оно потому остается тем же безразличным определенным количеством, что возвращается в себя из своего инобытия, из противоположения, т. е. бесконечно. Оба эти определения представляют в их различении одного от другого следующую общеизвестную форму.
Дробь 2/7 может быть выражена, как 0,285714…, 1/(1–а) — как 1+а+а2+а3 и т. д. Следовательно, она есть некоторый бесконечный ряд; самая дробь именуется суммою или конечным выражением этого ряда. Если сравнить оба эти выражения, то одно из них, бесконечный ряд, изображает ее, уже не как отношение, но с той стороны, что она есть определенное количество в смысле множества таких количеств, присоединяемых одно к другому, в смысле определенного числа. Что величины, составляющие это число, состоят сами из десятичных дробей, т. е. из отношений, это не имеет здесь значения; ибо это обстоятельство касается особого вида единиц этих величин, а не их самих, как составляющих определенное число; подобно тому, как состоящее из многих {163}цифр целое число десятеричной системы остается по существу определенным числом, и не обращается внимания на то, что оно состоит из произведений одних чисел на число десять и его степени. Также здесь не принимается в соображение, что существуют другие дроби, кроме, напр., 2/7, которые, обращенные в десятичные дроби, не дают бесконечного ряда, хотя каждая из них в числовой системе другой единицы может быть изображена, как таковой.
