В чем состоит различие рассматриваемого здесь качественного от предмета предыдущего примечания, ясно само собою и без дальнейшего объяснения. В последнем качественное заключалось в степенной определенности; здесь же оно, как бесконечно малое, есть лишь множитель относительно произведения, точка относительно линии, линия относительно плоскости и т. д. Качественный же переход от дискретного, на которое представляется разложенным непрерывное, к непрерывному, осуществляется, как суммирование.
Но что кажущееся простое суммирование в действительности содержит в себе умножение, т. е. переход от линейного к плоскостному определению, это обнаруживается всего проще в том способе, каким, например, доказывается, что площадь трапеции равна произведению суммы ее параллельных сторон на половину высоты. Эта высота представляется, лишь как определенное число множества дискретных величин, которые должны быть суммированы. Эти величины суть линии, лежащие параллельно между теми двумя ограничивающими параллельными линиями; их бесконечно много, так как они должны заполнять площадь, но они суть линии и потому, чтобы быть чем-либо плоскостным, они должны быть положены с отрицанием. Для того, чтобы избегнуть затруднения, состоящего в том, что сумма линий должна составить площадь, линии принимаются также за площади, но за бесконечно тонкие, так как они имеют свое определение исключительно в линейном параллельных сторон трапеции. Как параллельные и ограниченные другою парою прямолинейных сторон трапеции, они могут {209}считаться членами арифметической прогрессии, показатель которой остается равным, но не нуждается в определении, а первый и последний члены которой суть обе параллельные стороны; сумма такого ряда равна, как известно, произведению этих параллельных на половину числа членов. Это последнее количество называется числом лишь по сравнению с бесконечно многими линиями; оно есть вообще определенность непрерывной величины — высоты. Ясно, что то, что называется суммою, есть вместе с тем ductus lineae in lineam, умножение линии на линии, чтó по вышеприведенному определению предполагает их плоскостной характер. В простейшем случае прямоугольника каждый из множителей ab есть простая величина, но уже в дальнейшем также еще элементарном примере трапеции лишь один из множителей есть простая величина половины высоты, другая же определяется через прогрессию; он также есть линейное, но определенность его величины важнее; поскольку она может быть изображена лишь посредством ряда, то ее аналитический, т. е. арифметический интерес, состоит в ее суммировании; но геометрический момент последнего есть умножение, качественный переход от линейного к плоскостному измерению; один из множителей принимается за дискретный в связи с арифметическим определением другого, и, как последний, есть для себя линейная величина.
Прием, состоящий в том, чтобы представлять площади, как суммы линий, употребляется, однако, часто и тогда, когда для достижения результата не применяется умножение, как таковое. Так поступают в тех случаях, когда является надобность найти величину, как определенное количество не из уравнения, а из пропорции. Например, что площадь круга относится к площади эллипса, большая ось которого равна диаметру этого круга, как большая ось к малой, доказывается, как известно, так, что каждая из этих площадей принимается за сумму принадлежащих ей ординат; каждая ордината эллипса относится к соответствующей ординате круга, как малая ось к большой, из чего заключают, что также относятся между собою и суммы ординат, т. е. площади. Если желают при этом избегнуть представления площади, как суммы линий, то прибегают к обычному совершенно излишнему вспомогательному средству — к трапециям бесконечно малой ширины; так как уравнение есть лишь пропорция, то при этом установляется сравнение лишь одного из двух линейных элементов площади. Другой, ось абсцисс, принимается в круге и эллипсе за равный, след. как множитель арифметического определения величины за =1, и поэтому пропорция оказывается зависящей всецело от отношение лишь одного определяющего момента.
Для представление площади требуются два измерения; но определение величины, даваемое в этой пропорции, касается исключительно одного момента; поэтому та прибавка или поправка, что представление суммы связывается лишь с этим одним моментом, есть собственно игнорирование того, чтó здесь требуется для математической определенности.
