Лагранж и в этой части исчисления приложил столь же мало старания к разрешению трудности проблемы простым способом, основанным на этих прямых предположениях. Для разъяснения сущности дела полезно привести небольшое число примеров с целью ближайшего ознакомления с его приемом. Он ставит себе задачею доказать для себя, что между частными определениями некоторого математического целого, напр., кривой линии, существует отношение первоначальной к производной функции. Но этого нельзя достигнуть в рассматриваемой области прямым путем, основанным на природе самого отношения, которое в математическом предмете приводит в связь кривые линии с прямыми, линейные протяжения и их функции с поверхностными протяжениями и их функциями и т. д., т. е. качественно различное: поэтому определение можно понимать, лишь как средину между бóльшим и меньшим. Тем самым мы вновь возвращаемся к форме приращения с + и —, и бодрое: développons вступает в свою силу; но уже ранее было указано, что приращения имеют здесь лишь арифметическое, конечное значение. Из соображения того условия, что искомая величина более, чем один легко находимый предел, и менее, чем другой, выводится, например, что функция ординаты есть первая производная функция функции плоскости.{204}
Выпрямление прямых по способу Лагранжа, исходящего при этом от принципа Архимеда, представляет тот интерес, что оно обнаруживает нам перевод архимедова метода на язык нового анализа, что позволяет бросить взгляд на внутренний и истинный смысл механически производимого другим путем действия. Этот способ по необходимости аналогичен вышеуказанному способу; архимедов принцип, по которому дуга кривой более, чем соответствующая ей хорда, и менее, чем сумма двух касательных, проведенных к конечным точкам дуги, поскольку она заключена между этими двумя точками и точкою пересечения касательных, не дает прямого уравнения. Переводом этого архимедова основного определения в новую аналитическую форму служит изобретение такого выражения, которое должно быть для себя простым основным уравнением, так как эта форма ставит лишь требование движения в бесконечность между бóльшим и меньшим, постоянно сохраняющими определенную величину, каковой переход постоянно дает лишь новые большее и меньшее, хотя во все более тесных пределах. При помощи формализма бесконечно малых сейчас же получается уравнение dz2=dx2+dy2. Изложение Лагранжа, исходящее от вышеуказанного основоположения, обнаруживает напротив, что величина дуги есть первоначальная функция некоторой производной функции, характеризующий которую член сам есть функция отношения производной функции к первоначальной функции ординаты.
Так как в способе Архимеда так же, как впоследствии в кеплеровом исследовании предметов стереометрии, выступает представление бесконечно малых, то это часто служило авторитетом для такого употребления этого представления, какое делается в дифференциальном исчислении, без принятия в соображение имеющих тут место своеобразия и различия. Бесконечно малое означает прежде всего отрицание определенного количества, как такового, т. е. так называемого конечного значения, законченной определенности, присущей определенному количеству, как таковому.
Также и в последующих знаменитых методах Валериуса, Кавальери и др., основанных на рассмотрении отношений геометрических предметов, то основное определение, по которому определенное пространство, как таковое, поставлено для этой цели в ряд с определениями, рассматриваемыми ближайшим образом, лишь как отношения, и они должны быть поэтому признаваемы за неимеющие величины (nicht-grosses). Ho тем самым не признается и не выдвигается то утвердительное, которое находится за просто отрицательным определением, и которое ранее оказалось, говоря отвлеченно, качественною определенностью величины, состоящею более определенным образом в степенном отношении; отчасти же, поскольку это отношение само опять-таки включает в себе множество ближе определенных отношений, как, например, степени и функции ее развития, то они вновь должны быть обоснованы на общем и отрицательном определении того же бесконечно малого и выведены из него. В вышеприведенном изложении Лагранжа найдено то определенное утвердительное, которое свойственно {205}архимедову способу изложения задачи, а тем самым приведен в свои надлежащие пределы прием, коему было присуще движение в бесконечность. Величие нового изобретения для себя и его способность разрешать до того времени неразрешимые задачи, а ранее разрешимые разрешать более простым способом, должны быть приписаны исключительно открытию отношения первоначальной к производной функции и тех частей математического целого, которые состоят в таком отношении.
