Удивительные числа Вселенной полностью

Друзей у Кантора было немного из-за угрюмого и взрывного характера, Миттаг-Леффлер стал одним из них. Годом ранее, в 1882 году, Миттаг-Леффлер основал журнал Acta Mathematica, предоставив Кантору безопасное место для публикации его работ — вдали от интриг Кронекера. Когда Кронекер узнал об этом, он нашел способ отомстить бывшему ученику. Он написал шведу, спрашивая, может ли тот опубликовать в новом журнале статью Кронекера. Прослышавший об этом Кантор почувствовал очередную атаку: раз Кронекер надеется публиковаться в Acta, то только для того, чтобы дискредитировать его труды. Кантор отреагировал характерной вспышкой, написав Миттаг-Леффлеру гневное письмо, где грозил больше не посылать ему свои статьи. Отношения между Кантором и его другом испортились. Возможно, именно на это и рассчитывал Кронекер: он вовсе не собирался посылать свою статью в журнал Миттаг-Леффлера[160].

После этого у Кантора случился первый нервный срыв. Проблемы с психикой были неизбежны даже в обычной спокойной жизни. А ведь она была не такой. Его жизнь полнилась напряженной работой и сражениями с Кронекером. Позже математика постигла еще и личная трагедия: его младший сын Рудольф внезапно умер в 1899 году, когда Кантор уехал читать лекцию в Лейпциг.

Кантор достиг небес, бесконечности и ходил среди алефов и омег. Будучи глубоко религиозным человеком, он верил, что им руководит Бог. Его определенно вели числа, все числа, — континуум. Именно здесь, в этом небесном царстве, Кантор впервые заглянул за пределы . Он понимал, что континуум дает большую бесконечность — больше, чем , но что это за бесконечность? Это или нечто еще большее?

Всякий раз, когда у нас есть какое-то множество, будь то четыре всадника Апокалипсиса или множество натуральных чисел, мы можем говорить о том, что называется степенью множества, или булеаном. Это просто множество всех подмножеств для исходного множества. Например, рассмотрим множество из трех мушкетеров {Атос, Портос, Арамис}. У него в общей сложности восемь различных подмножеств. Это пустое множество

подмножества из одного мушкетера:

подмножества из двух мушкетеров:

и, конечно, подмножество из всех трех мушкетеров:

Вместе эти восемь различных подмножеств образуют множество всех подмножеств для множества из трех мушкетеров. Возможно, вы заметили, что размер множества мушкетеров равен 3, а множество всех его подмножеств имеет гораздо больший размер, 8 = 2³. Это не случайное совпадение. Каждое подмножество либо включает Атоса, либо нет; либо включает Портоса, либо нет; либо включает Арамиса, либо нет. Получаем 2 × 2 × 2 = 8 вариантов. Та же логика говорит, что для 20 команд английской Премьер-лиги во множестве всех подмножеств будет 2²⁰ элементов.

То же правило применяется и к бесконечным множествам. Мы знаем, что мощность множества натуральных чисел равна . Какую мощность имеет его булеан? Это просто множество его подмножеств, то есть пустое множество

подмножества из одного числа:

подмножества из двух чисел:

И так далее. Мощность этого множества равна Это невообразимо много. Как доказал Кантор, это определенно больше, чем , и так уж получилось, что это мощность континуума. Чтобы увидеть это, запишем какое-нибудь вещественное число в двоичном виде. Это просто набор нулей и единиц в определенном порядке. Например,

будет записано в виде 0,101. Если мы хотим пробежать по всем различным способам, то у нас есть два варианта для первой цифры, два для второй, два для третьей и так далее до бесконечности. В конце мы получим такое общее количество различных способов:

Кантор предположил, что континуум должен быть следующим алефом в списке. Другими словами, он счел, что Это утверждение известно как континуум-гипотеза; возможно, вы помните, что это первая из двадцати трех нерешенных проблем Гильберта, предложенных в 1900 году. По сути, она утверждает, что континуум расположен на один алеф выше множества натуральных чисел, хотя вовсе не очевидно, что это должно быть верно. С таким же успехом континуум может иметь размер какого-то более высокого алефа, а возможно, он вообще не имеет ничего общего с алефами. Кантор был одержим своей гипотезой. В его письмах Миттаг-Леффлеру прослеживается история все более отчаивающегося человека. Он то торжествующе сообщает шведскому математику, что доказал гипотезу, то в отчаянии признается, что обнаружил в своей работе роковую ошибку. Он метался между доказательством и опровержением, между иллюзией успеха и реальностью неудачи.