По сей день континуум-гипотеза не доказана и не опровергнута. Однако в 1963 году американский математик Пол Коэн сделал важное открытие. Вдохновляясь работами великого логика Курта Геделя, Коэн показал, что континуум-гипотеза не зависит от основных строительных блоков математики, то есть аксиом, входящих в систему аксиом Цермело — Френкеля, дополненную аксиомой выбора (такая система называется ZFC, буквы обозначают математиков Эрнста Цермело (Zermelo) и Абрахама Френкеля (Fraenkel), а также слово choice — выбор)[161]. Это означает, что вы можете считать континуум-гипотезу хоть истинной, хоть ложной, и ни одно из этих утверждений никогда не приведет к противоречию. Чтобы понять это, представьте, что фаната «Ливерпуля» спрашивают, болеет ли он также за «Манчестер Юнайтед» — самого принципиального соперника «Ливерпуля». Вы сразу понимаете, что это невозможно, поскольку это взаимоисключающие вещи. Но что произойдет, если спросить, болеет ли он также за «Бостон Ред Сокс»? Если учесть, что это команда из совсем другого вида спорта (бейсбольный клуб из США), никакого противоречия нет: фанат «Ливерпуля» вполне может за нее болеть или не болеть. Коэн показал, что математикам следует так же спокойно относиться к континуум-гипотезе. Через восемьдесят лет после того, как Кантор сошел с ума, Коэн получил за свою работу Филдсовскую премию — математический эквивалент Нобелевской премии.
Со временем Кантор станет воспринимать континуум-гипотезу как догму, нечто, выходящее за рамки математики. Гипотеза принадлежала Богу, и, по мнению Кантора, Бог защищает ее. Во второй половине своей жизни Кантор все больше времени проводил в больнице. Его срывы обычно начинались взрывом, когда он разглагольствовал о несправедливости мира, а затем наступала депрессия. Как позже вспоминала его дочь Эльза, он замыкался и не мог общаться. Во время своих длительных ремиссий Кантор часто предавался другой страсти, не имевшей отношения к его битве с континуумом. Он сражался с Шекспиром.
Кантор считал Шекспира самозванцем и полагал, что его пьесы принадлежали ученому XVII века сэру Фрэнсису Бэкону. Родным языком Кантора был немецкий, он также говорил по-датски и по-русски, и, хотя английский стал его четвертым языком, он считал, что знает его достаточно хорошо, чтобы публиковать брошюры в поддержку своей радикальной шекспировской гипотезы[162]. В 1899 году, после очередного срыва, Кантор получил от университета отпуск по состоянию здоровья. За этим последовал странный эпизод, который позволяет заглянуть в тревожное состояние разума Кантора. Он отправил письмо в Министерство просвещения, где просил освободить его от профессорской должности и дать спокойно работать в библиотеке на службе у кайзера. Он сообщал, что обладает обширными познаниями в истории и литературе, предлагая в качестве доказательства свои брошюры, и даже утверждал, что у него есть новая информация об английской монархии и личности ее первого короля. Кантор заверял, что если министерство своевременно не отреагирует на его просьбу, то он предложит свои услуги русскому царю. Но министерство проигнорировало его письмо, и Кантор так и не установил контакта с русскими.
Когда в Европе разразилась Первая мировая война, важность математических работ Кантора уже признали, в отличие от его работ по английской литературе. Военные условия в Германии привели к тому, что последние дни он провел в нищете. Когда британский ученый Бертран Рассел опубликовал в 1951 году его письма, он воздал должное Кантору как «одному из величайших умов XIX века», чьи «промежутки просветления были посвящены созданию теории бесконечных чисел». Но он также добавлял: «После чтения его письма никто не удивится, узнав, что он провел большую часть своей жизни в сумасшедшем доме».
Кантор отважился исследовать небеса бесконечности. Изучая его наследие, другие осмелились заглянуть еще дальше. Оказывается, есть уровень бесконечности, лежащий за пределами даже бесконечно бесконечного; эти числа известны как недостижимые. Чтобы понять идею недостижимости, нам сначала нужно вернуться в царство конечности — к натуральным числам. Есть ли способ добраться до алефов с помощью правил арифметики? Ответ — решительное «нет». В царстве конечности у нас есть исключительно конечные числа и нам доступно только конечное число операций сложения, умножения или даже возведения в степень. В результате доступ к алефам закрыт. В этом смысле алеф — недостижимое кардинальное число, потому что мы не можем добраться до него, играя в арифметические игры с конечными кардинальными числами, находящимися ниже.
Теперь прыгнем в небеса.
