Получив в свои руки , мы можем перейти к еще большим количественным числам с помощью образования множества всех подмножеств. Если континуум-гипотеза верна, то немедленно приведет нас к , а дальше правила арифметики позволяют нам выйти к , и т. д. По мере того как мы достигаем всё больших кардинальных чисел, мы начинаем задаваться вопросом: есть ли что-то, до чего мы не сможем добраться? На самом деле мы этого не знаем. Первый вариант ответа на этот вопрос — отрицательный; в этом случае — единственное кардинальное число, которое недоступно снизу. Но такое заключение выглядит довольно скучно. Гораздо интереснее вообразить себе более высокие алефы, которые настолько велики, что недостижимы для всех предшествующих. Именно к этому варианту склонны математики, — в конце концов, они сами создают свои правила и смотрят, что из этого получится. Давайте примем такую точку зрения и рассмотрим первое из наших новых недостижимых чисел. Находясь в царстве низших алефов, мы можем только смотреть, но не прикасаться. Как бы часто мы ни возводили в степень, мы никогда не сможем достичь его, как не могли достичь из царства конечности. Это новый уровень числа, небесный левиафан, ускользнувший от бесконечности бесконечностей. У него нет названия, поэтому я попросил своих детей придумать его, подобно Эдварду Казнеру, племянник которого сочинил слово «гугол». В итоге они остановились на йети. Думаю, это идеальный вариант, ведь йети живет высоко в недоступных местах и никто не знает, существует ли он на самом деле.
Существуют ли на самом деле какие-либо алефы? Являются ли они частью физического мира? Кантор, ограниченный только своим воображением, мог гулять с бесконечностью, обнимать ее и понимать. Но это было в математическом мире чисел и множеств. В физическом мире бесконечность часто считается недугом, болезнью, сигнализирующей о непонимании, вычислительном параличе. Тем не менее существуют места, где мы научились преодолевать этот паралич, где бесконечность покорена, а наши физические теории процветают. Это справедливо для бесконечностей, с которыми мы сталкиваемся в электромагнетизме и ядерной физике. Но это не относится к гравитации. В гравитации существует бесконечность бесконечностей. Как мы увидим далее, паралич бесконечен.
Близкие контакты бесконечной степениОстерегайтесь гравитационных приливов. Остерегайтесь сингулярности в центре черной дыры, где пространство-время прикасается к бесконечности. Остерегайтесь гравитационного напряжения, которое растет и растет, разрывает вас на части, разделяя руки, ноги, атомы и кварки. Остерегайтесь своего последнего мгновения, когда перестает существовать само время, а все, чем вы являетесь, поглощается микроскопической тканью нашей Вселенной.
Это ужас Повехи — колоссальной черной дыры, с которой мы столкнулись в начале книги. Мы видели ее издалека, но как насчет этого ужаса внутри? Реальна ли сингулярность? Можно ли прикоснуться к бесконечности хотя бы на последний миг времени? В 1965 году английский математик Роджер Пенроуз открыл нечто замечательное. Если Эйнштейн прав насчет гравитации, каждая черная дыра оказывается концом, покровом для некой сингулярности, фасадом для бесконечности. Он показал, что сингулярность всегда есть там, где имеется поверхность, подобная горизонту событий, из-за которого ничто не может удрать. Пятьдесят пять лет спустя пожилой Пенроуз, к тому времени уже рыцарь-бакалавр[163], получил за это Нобелевскую премию. Но, несмотря на одобрение шведского комитета, это не означает, что сингулярности Пенроуза действительно существуют в природе. Работа Пенроуза показала, что если черные дыры существуют в том виде, как мы думаем, то теория Эйнштейна нарушается[164]. Давая приют такой бесконечности, эта теория прячет то, с чем не может справиться. В физике бесконечность — это болезнь, которую нужно лечить.
Мы уже видели подобное раньше.
Не так уж давно были времена, когда наши болезни бесконечности оказывались куда менее экзотическими. Они скрывались не только внутри черных дыр, но и в сиянии лампочки или в гуле радиопередачи. Эти обыденные явления — сцены в балете квантовой электродинамики, когда фотоны танцуют с электронами, а электроны с фотонами. Взаимодействие между фотоном и электроном — основное во всей физике, однако в преддверии Второй мировой войны оно также оказалось нарушенным. Пляску электронов поразила болезнь бесконечности.
