Удивительные числа Вселенной полностью

Невелика точность, если ответ на математический вопрос лежит где-то между числом 6 и неимоверно большим числом g₆₄? Рон Грэм соглашался с этим, но для него это подчеркивало разрыв между тем, что вы считаете истиной, и тем, что вы можете доказать. Мы знаем, что существует точный ответ на первоначальный вопрос Грэма и Ротшильда, и он скрывается где-то на этом невероятно огромном интервале, но найти его точно? Что ж, удачи. На самом деле этот интервал значительно сократился с тех пор, как Грэм и Ротшильд написали свою статью. Сейчас мы знаем, что ответ находится где-то между 13 и 2 ↑ ↑ ↑ 5. Это улучшение, но его явно не хватит, чтобы удовлетворить требования разгневанной инопланетной расы, проверяющей человечество с помощью проблем из теории Рамсея.

В истории математики число Грэма — настоящий левиафан, но я боюсь, что его великолепие теряется из-за абстракции. Чтобы лучше понять его, мы обратимся к физике и выясним, почему это число настолько велико, что способно убить.

Что делает число Грэма таким опасным? Почему ваша голова сколлапсирует, если вы будете размышлять о его десятичном представлении? Оказывается, в таком изображении числа Грэма есть энтропия — много энтропии, — а каждый раз, когда вы пытаетесь втиснуть слишком много в слишком маленькое пространство, неизбежно образуются черные дыры. Может показаться странным, что число способно нести энтропию так же, как яйцо или трицератопс, однако энтропия тесно связана с информацией, а последняя в числе Грэма, безусловно, содержится. Если бы я назвал вам его последнюю цифру, у вас появилось бы новое знание. Если бы я назвал вам его полное десятичное представление, вашей голове пришлось бы втискивать гораздо больше информации. Поглощение такого большого количества энтропии в замкнутом пространстве приведет к единственному возможному результату: смерти от превращения головы в черную дыру.

Чтобы понять связь между черными дырами, энтропией и десятичным представлением числа Грэма, нам нужно изучить смысл информации. Мне известна последняя цифра числа Грэма, и я предлагаю вам узнать ее. Вы можете задавать мне какие угодно вопросы, но я буду отвечать только «да» и «нет». Предположим, вы придерживаетесь следующей стратегии.

Вы понимаете, что ответ — семерка.

Вы узнали это за три вопроса. Стратегия была удачной: с каждым новым вопросом круг возможных цифр существенно уменьшался. В среднем такая стратегия определит случайно выбранную цифру за 3,32 вопроса. Именно таким методом Клод Шеннон, криптограф и пионер теории информации, предложил измерять количество информации: минимальное число ответов «да» или «нет», необходимое, чтобы точно определить то, что вы хотите знать.

Шеннон сочетал очевидный талант к вычислительной технике и математике с практическими навыками первоклассного инженера. Он всегда что-то мастерил: от летающих тарелок-фрисби с ракетным двигателем до одноколесных велосипедов и жонглирующих роботов. Самое хулиганистое его творение — машина, при включении выдвигавшая механическую руку, которая тут же отключала машину. Шеннон также дружил с Роном Грэмом; эта дружба выросла из интереса Шеннона к жонглированию: старик хотел научиться этому искусству, а Грэм согласился быть преподавателем. В итоге Шеннон умел жонглировать четырьмя мячами — на один больше, чем могли осилить его роботы.

Интерес Шеннона к теории информации произрастает из его работ военного времени над кодами и коммуникациями в компании Bell Telephone Laboratories в Нью-Джерси. Он понимал важность передачи информации, особенно во время войны, и что нередко она трудна или даже опасна. Шеннон хотел выяснить, как эффективно передать сообщение, когда мешает сильный «шум», и для этого ему потребовалось определить хорошую меру для количества информации.

Чтобы понять его меру, подбросьте монетку. Чтобы определить результат броска, вам нужен всего один ответ вида «да» или «нет» — достаточно спросить: выпал орел? Таким образом, один бросок монеты несет один бит информации. Пять бросков монеты дают пять бит, гугол бросков даст гугол бит. В общем виде нам нужно связать количество битов не с количеством монет, а с количеством возможных исходов. При пяти подбрасываниях монеты можно получить 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 различных исхода. Как извлечь пять бит из этих 32 исходов? Поскольку 32 = 2⁵, пять бит находятся в показателе степени. В случае последней цифры числа Грэма возможны десять разных исходов (последней может оказаться любая цифра от 0 до 9). Сколько это битов? Ситуация немного сложнее, поскольку 10 больше, чем 2³, но меньше, чем 2⁴, поэтому ответ лежит где-то между тремя и четырьмя битами. Оказывается, знание последней цифры числа Грэма несет примерно 3,32 бита информации[67].