Это создавало огромные психологические трудности, так же как и некоторые интеллектуальные. Принадлежность математики к реальному миру была бесспорной, даже если, с точки зрения математических формалистов, она не соответствовала ему. В двадцатом столетии «чистейшая» математика, раз за разом, нашла некоторое соответствие в реальном мире и, действительно, служила, чтобы объяснить этот мир или господствовать над ним посредством технологии. Даже Дж. X. Харди, чистый математик, специализирующийся в теории чисел — и, кстати, автор блестящего труда об автобиографическом самоанализе, — человек, который с гордостью утверждал, что ничто из сделанного им не имело никакого практического применения, пожертвовал теоремой, которая лежит в основе генетики современного населения (так называемый закон Харди-Вайнберга). Какой была природа отношений между математической игрой и структурой реального мира, которая соответствовала ей? Возможно, это не имело значения для математиков как математиков, но фактически даже многие из формалистов, такие как великий Гилберт (1862–1943), казалось, верили в объективную математическую правду, т. е. в то, что это было неуместным, чтобы математики думали о «природе» математических объектов, которыми они манипулировали, или об «истинности» своих теорем. Вся школа «интуиционистов», предвосхищенная Анри Пуанкаре (1854–1912) и руководимая, с 1907 года, голландцем Л. Е. Дж. Броувером (1882–1966), резко отвергала формализм, если необходимо, ценой отказа даже от тех триумфов математического рассуждения, чьи буквально невероятные результаты привели к повторному рассмотрению основ математики, и особенно собственной работы Кантора по теории комплектования, поставленной на обсуждение, вопреки страстной оппозиции некоторых ученых, в 1870-х годах. Страсти, вызванные этим сражением в стратосфере чистой мысли, показывают всю глубину интеллектуального и психологического кризисов, которые произвел крах старых связей между математикой и пониманием мира.
Кроме того, непосредственное переосмысление основ математики было весьма проблематичным, попытки обосновать ее на строгих определениях и не-противоречии себе (которое также стимулировало развитие математической логики) столкнулись с трудностями, которые должны были превратить период между 1900 и 1930 годами в «великий кризис основ» (Бурбаки){247}. Безжалостное исключение интуиции непосредственно было возможно только посредством некоторого сужения горизонта математика. Вне этого горизонта размещались парадоксы, которые математики и математические логики открыли теперь — Бертран Расселл сформулировал некоторые из них в начале 1900-х годов — и которые вызвали наиболее серьезные трудности[72]. В конечном счете (в 1931 г.) австрийский математик Курт Гедель доказал, что для некоторых фундаментальных целей противоречие не может быть устранено вообще: мы не можем доказать, что аксиомы арифметики согласуются конечными шаговыми числами, которые не ведут к противоречиям. Однако к тому времени математики привыкли жить с сомнениями своего предмета. Поколения 1890-х и 1900-х годов были пока еще далеки от примирения с ними.
