В этом смысле мы можем теперь сказать, что такой ряд вовсе не имеет суммы, а следовательно, все рассуждения о том, "чему же равно выражение 1-1 + 1-1 + 1-... и так далее до бесконечности", просто бессмысленны. Так вот, если ты установил, что можешь миновать такого рода трудности, то можно пользоваться этим в высшей степени удобным способом. То, что я тебе изложил, в целом есть завоевание уже гораздо более поздних времен. Самый вопрос о бесконечно малых и о пределах настолько сложен, что греки не смогли с ним справиться. Против деления площадей и объемов на бесконечно малые составляющие было выдвинуто очень много возражений, и некоторые из них казались вполне основательными. Говорили, например, что из целой массы величин, которые почти не отличаются от нуля, нельзя составить конечной величины - "из ничего и выйдет ничего".
- 323 -
- Да, - сказал Илюша, - а ведь это очень похоже на правду!
- Похоже, конечно, - отвечал Радикс, - но есть одно обстоятельство, которое это правдоподобие нарушает. Если взять бесконечно малую величину и повторять ее слагаемым конечное число раз, то, несомненно, получится снова величина бесконечно малая. Но если рассматривать сумму неограниченно возрастающего числа бесконечно малых, то нельзя ручаться, что будет величина бесконечно малая. То есть в одном случае окажется нуль, но в иных можно получить некоторую конечную величину, отличную от нуля. Разумеется, все это должно делать обдуманно и с рядом самых серьезных предосторожностей. Кстати сказать, Паскаль на упрек, выраженный в фразе "из ничего и выйдет ничего", отвечал, что он вовсе не суммирует нули, а разбивает некоторую конечную величину, которая ему дана. Такое разбиение отнюдь не равнозначно уничтожению этой величины.
- Вот именно, - сказал Коникос. - Но такие подробности, в данном случае очень важные, ускользали от внимания древних математиков. И тем не менее начало этого дела было ими положено. А в дальнейшем Архимед, опираясь на работу Демокрита и других развил этот способ. Он нашел площадь сегмента параболы, поверхности шара, сумму квадратов натурального ряда и сделал еще немало других открытий. Историки рассказывают, что он до того был предан геометрии, что его слугам приходилось чуть не насильно отрывать его от занятий и кормить. Он был убит при взятии города Сиракузы римлянами. Говорят, будто это произошло случайно, что предводитель римского войска Марцелл отдал даже особый приказ пощадить великого ученого. Архимед много помогал своим согражданам при осаде города Сиракузы, организовав всю защиту своего родного города.
- А правда, что он сжег римский флот при помощи каких-то особенных зеркал? - спросил Илюша.
- Нет! - отвечал Радикс. - Это сказка, которую выдумали в средние века. Уже Кеплер смеялся над ней. Зеркалом, разумеется, можно зажечь дерево, но для того, чтобы на расстоянии километра это сделать, надо изготовить зеркало диаметром в полкилометра... Вот этот-то Марцелл и назвал Архимеда "Бриареем геометрии", сравнив его со сказочным сторуким чудовищем.
- А как же называется этот способ вычисления площадей фигур вроде параболы и тому подобных?
- 324 -
- Ты хочешь сказать "площадей криволинейных фигур"?
Этот способ теперь в математике называется интегрированием.
Вдруг все замолчали, напряженно вглядываясь во что-то, что было за спиной Илюши.
Мальчик обернулся и увидел громадную тень Великого Змия, повисшую в воздухе.
- 325 -
