Анри Пуанкаре родился в Нанси (Франция). Его отец Леон был профессором медицины в Университете Нанси, мать звали Эжени (урожденная Лануа). Его двоюродный брат Раймон Пуанкаре стал премьер-министром, а во время Первой мировой войны был президентом Французской Республики. В раннем возрасте Анри переболел дифтерией, и, пока не поправился, его дома обучала мать. Затем он отправился в лицей, где провел 11 лет. Анри был первым по всем без исключения предметам, а в математике – просто неподражаем. Учитель называл его «монстром математики», и национальные конкурсы Анри тоже выигрывал. У мальчика была великолепная память; он мог представить себе любую сложную трехмерную фигуру, что компенсировало ему в какой-то степени зрение – настолько слабое, что во время урока он едва видел классную доску, не говоря уже о том, что было на ней написано.
В 1870 г., когда Франко-прусская война была в самом разгаре, юный Пуанкаре служил вместе с отцом в медицинской части. В 1871 г. закончилась война, в 1873 г. Анри поступил в Париже в Политехническую школу, которую окончил в 1875 г. Затем он был принят в Горную школу (École des Mines), где изучал горное дело и вновь математику. В 1879 г. он получил диплом горного инженера. Тот год был богат событиями. Пуанкаре стал горным инспектором Горного корпуса по области Везуль; он, в частности, проводил официальное расследование несчастного случая в Маньи, когда погибло 18 шахтеров. Кроме того, Пуанкаре продолжал под руководством Эрмита работать над докторской диссертацией; он занимался уравнениями в конечных разностях – аналогом дифференциальных уравнений, в которых время изменяется не непрерывно, а дискретными шагами. Он распознал потенциал уравнений, описывающих движение многих тел под действием гравитации, к примеру Солнечной системы, и предвидел будущее развитие в этой области; важность этих исследований многократно возросла, когда компьютеры стали достаточно мощными, чтобы взять на себя громадное число необходимых расчетов.
После получения докторской степени Пуанкаре получил место младшего преподавателя математики в Университете Кана, где встретил свою будущую жену Луизу Пулен д’Андеси. Они поженились в 1881 г. и родили четверых детей – трех девочек и мальчика. К 1881 г. Пуанкаре успел получить куда более престижную работу в Университете Парижа, где за короткое время вырос в одного из ведущих математиков своего времени. Пуанкаре обладал прекрасной интуицией, и лучшие идеи, как правило, приходили к нему в те моменты, когда он думал о чем-то другом, – вспомните хотя бы историю с омнибусом. Он написал несколько научно-популярных бестселлеров: «Наука и гипотеза» (1901 г.), «Ценность науки» (1905 г.), «Наука и метод» (1908 г.). Безусловно, Пуанкаре стоял выше большинства других математиков того времени во многих областях, включая теорию комплексных функций, дифференциальные уравнения, неевклидову геометрию, топологию – которую он, по существу, основал, – и в применении математики в таких разных областях, как электричество, упругость, оптика, термодинамика, теория относительности, квантовая теория, небесная механика и космология.
Топология, если вы помните, – это «геометрия резинового листа». Евклидова геометрия строится вокруг свойств, которые сохраняются при жестких перемещениях, таких как длины, углы и площади. Топология отбрасывает все это и ищет свойства, которые, напротив, сохраняются при непрерывных преобразованиях, таких как сгибание, растягивание, сжатие и закручивание. К таким свойствам относятся связность (один кусок или два), наличие узлов и число отверстий (одно или больше). Предмет изучения здесь может показаться туманным, но свойства непрерывности фундаментальны – возможно, даже более фундаментальны, чем свойства симметрии. В XX в. топология наряду с алгеброй и анализом стала одним из трех китов теоретической математики.
В том, что так произошло, большая заслуга Пуанкаре, который перешел от резиновых листов к, если так можно выразиться, резиновым пространствам. Метафора листа – двумерная концепция. Если игнорировать все окружающее пространство – как видел его Гаусс, – то для определения точки на листе или, более формально, на поверхности, достаточно двух чисел. Классические топологи, и среди них ученик Гаусса Иоганн Листинг, сумели достаточно подробно разобраться в топологии поверхностей. В частности, они их проклассифицировали, то есть расписали все возможные формы поверхностей, воспользовавшись для этого хитроумным методом конструирования поверхности из плоского многоугольника (и его внутренней части).
