На языке математики утверждение «любая петля деформируется в точку» обозначается термином «гомотопическая сфера». Мы только что набросали кратко доказательство того, что, если речь идет о поверхностях, любая гомотопическая сфера топологически эквивалентна настоящей сфере. Это позволяет характеризовать сферу при помощи простого топологического свойства. Гипотетический муравей, живущий на поверхности, мог бы, в принципе, разобраться, является ли эта поверхность сферой; для этого ему надо было бы раскладывать всюду веревочные петли и стягивать их в точку. Пуанкаре предположил, что нечто подобное характеризует и трехмерную сферу, или 3-сферу, которая представляет собой трехмерное многообразие, аналогичное сферической поверхности. Это не просто заполненный шар. У шара есть граница, у 3-сферы ее нет. Можно представить себе 3-сферу как шар, поверхность которого стянута в одну точку, – в точности так же, как тонкий диск топологически превращается в сферу, если стянуть все граничные точки в одну. Представьте себе мешок со шнурком вокруг горловины. Когда вы затягиваете шнурок, граница стягивается в точку и мешок приобретает топологию сферы.
А теперь проделаем то же самое, но в условиях, когда у нас есть возможность поиграть еще с одним измерением.
Гипотеза возникла потому, что Пуанкаре в то время размышлял еще об одном топологическом свойстве, которое называется гомологией… Интуитивно это свойство менее понятно, чем стягивающиеся петли, но близко с ними связано. В определенном смысле петли, продернутые через различные отверстия
В одной из ранних работ Пуанкаре принял допущение о том, что это же утверждение верно и для трех измерений. Это показалось ему настолько очевидным, что он даже не потрудился это доказать. Но затем он открыл пространство, обладающее той же гомологией, что и 3-сфера, но топологически от нее отличное. Чтобы получить такое пространство, склейте попарно противоположные грани сплошного додекаэдра, – примерно так получается плоский трехмерный тор из сплошного куба. Чтобы доказать, что это «додекаэдрическое пространство» топологически не эквивалентно трехмерной сфере, Пуанкаре и придумал гомотопию – то, что происходит с петлей при деформировании. В отличие от 3-сферы, его додекаэдрическое пространство содержит петли, которые невозможно непрерывными деформированиями свести в точку. Затем он задался вопросом: не является ли это дополнительное свойство характеристикой 3-сферы? На самом деле это был вопрос, даже не гипотеза, поскольку Пуанкаре не высказал по ее поводу собственного мнения. Однако ясно: он полагал, что ответ должен быть «да», так что, называя этот вопрос гипотезой, мы не проявляем особой несправедливости по отношению к автору.
Гипотеза Пуанкаре оказалась твердым орешком. Очень твердым. Если вы тополог и привычны к соответствующей терминологии и мышлению, вопрос покажется вам простым. Он должен иметь естественный ответ и простое доказательство. Однако, судя по всему, это не так. Но идеи, которые натолкнули на него Пуанкаре, вызвали взрывной рост исследований топологических пространств и их свойств, таких как гомология и гомотопия, которые, если вам повезет, вы сможете различить. Гипотеза Пуанкаре была в конечном итоге доказана в 2002 г.; Григорий Перельман сделал это при помощи новых методов, на которые его отчасти вдохновила общая теория относительности.
Для Пуанкаре топология была не просто интеллектуальной игрой. Он применял ее в физике. Традиционный метод анализа динамической системы состоит в том, чтобы записать ее дифференциальное уравнение, а затем решить его. К несчастью, этот метод редко дает точный ответ, так что математики столетиями использовали приближенные методы. До тех пор пока не появились доступные и эффективные компьютеры, аппроксимации принимали вид бесконечного ряда, из которых использовались только первые несколько членов; компьютеры сделали численные методы аппроксимации вполне практичными и применимыми. В 1881 г. Пуанкаре разработал совершенно новый способ подхода к дифференциальным уравнениям и изложил его в «Записке о кривых, определенных дифференциальным уравнением». Этой статьей он заложил фундамент качественной теории дифференциальных уравнений, которая пытается вывести свойства решений дифференциального уравнения, не записывая для этого ни формул, ни рядов и не вычисляя их численно. Вместо этого теория использует общие топологические свойства фазового портрета – множества всех решений, рассматриваемого как единый геометрический объект.
