А.Ф. Лосев в своей работе «О методе бесконечно малых в логике» в главе «Жизненно логическое значение математического анализа» пишет: «В самом деле, меняются ли вещи или нет, движутся или нет, можно ли остановить непрерывное становление вещей или нельзя этого сделать? Казалось бы, на это может быть только один и совершенно недвусмысленный ответ. Но стоит только допустить, что вещи непрерывно меняются, как тотчас же возникает вопрос: а как же мы узнаем эту вещь, если она вся целиком и непрерывно меняется. Как она может оставаться той же вещью, если мы только что признали, что она сплошь становится и меняется? Ясно, что все ее изменения мы относим к какому-то ее ядру или центру, а не просто их забываем. Мы их, несомненно, суммируем. И как же происходит это суммирование? Вовсе не так что все слагаемые остаются твердыми и неподвижными, эти слагаемые расплываются в целом вещи… С другой стороны, могут ли все эти бесконечно малые изменения вещи быть таковыми в ней раз и навсегда и сливаться в неразличимую массу? Это также невозможно, так как вещи реально меняются, и мы отчетливо воспринимаем эти изменения, так что же такое, в конце концов, реальное восприятие реально движущейся вещи, когда не становление не дробится на дискретные части, и дискретные части не теряют своей значимости в том целом, что называется восприятием вещи?
Я не знаю, как тут обойтись без процесса интегрирования и дифференцирования. Возводя изменение вещи к ее целому и прослеживая, как от них нарастает это целое, мы не делаем ничего другого, как просто-напросто интегрируем вещь и интегрируем наше восприятие вещи… С другой стороны, кто же не наблюдал скорость движения тела и не сравнивал проходимый им путь с этой скоростью?.. А известно ли всем, кто занимается логикой, что скорость есть первая производная от пути по времени?.. А известно ли логикам, что ускорение есть вторая производная от пути по времени? Что же остается сказать после этого? Не то ли, что восприятие всякой скорости и ускорения, есть бессознательное дифференцирование разных расстояний с точки зрения временного протекания тех или иных движений?»
Туманный непонятный язык («флюксии» и «флюэнта», а также «моменты» Ньютона, «бесконечно малые», «действительные бесконечные», инфинитезимальные «величины» Лейбница и т.д.) математического анализа в большей степени походил не на строгий научно-терминологический аппарат, а на туманные выражения средневековых схоластов. Известно, что истинный смысл работы Декарта «Рассуждения о методе» состоял в том, чтобы заменить логику Аристотеля и схоластов логикой математической как универсальным инструментом науки. Но этого-то как раз и не произошло. Язык математики XVII в. оказался необычайно туманным.
По мнению М. Клайна, в своих размышлениях эти ученые «нередко обращались к термину «метафизика». Под ним понимали совокупность истин, лежащих за пределами собственно математики. И в случае необходимости эти истины могли быть использованы для обоснования того или иного математического утверждения, хотя природа метафизических истин оставалась неясной. Обращение к метафизике означало использование аргументов, которые не подкреплялись разумом. Так, Лейбниц утверждал, что метафизика используется в математике шире, чем можно себе представить. Единственным «обоснованием» равенства: 0 = 1-1+1-1+… и принципа непрерывности было убеждение Лейбница в том, что оба утверждения «обоснованы» метафизически. Предмет спора исчезал, коль скоро появлялись метафизическое «обоснование»… Всякий раз, когда математики XVII – XVIII вв. не находили подобающих аргументов того или иного утверждения, они говорили, что это утверждение верно по метафизическим причинам».
Насущная необходимость надлежащего обоснования математического анализа остро ощущалась даже в конце XVIII века всем математическим миром, и по предложению Лагранжа отделение математики Берлинской Академии наук назначила в 1784 г. приз за лучшее решение проблемы бесконечности в математике. Объявление об условиях конкурса гласило:
«Своими предложениями, всеобщим уважением и почетным титулом образцовой «точной науки» математика обязана ясности своих принципов, строгости своих доказательств и точности своих теорем.
Для обеспечения непрестанного обновления столь ценных преимуществ этой изящной области знания необходима ясная и точная теория того, что называется в математике бесконечностью.
Хорошо известно, что современная геометрия [математика] систематически использует бесконечно большие и бесконечно малые величины. Однако геометры античности и даже древние аналитики всячески стремились избегать всего, что приближалось к бесконечности, а некоторые знаменитые аналитики современности усматривают противоречивость в самом термине «бесконечная величина».
