Если из состояния покоя тело начинает падать, равномерно ускоряясь, расстояния, пройденные им за любые промежутки времени, соотносятся между собой в удвоенном отношении времени, т. е. как квадраты времени.
Пусть течение времени начиная с некоторого момента А будет представлено отрезком АВ, на котором мы произвольно возьмем два временных отрезка AD и ВЕ; пусть HI будет линией, вдоль которой тело, начиная от точки H, принятой за начало движения, падает с равномерным ускорением; пусть HL будет расстоянием, пройденным за первый промежуток времени AD, а HM – расстоянием, которое тело пройдет за время AE; я утверждаю, что отношение расстояния HL к HM равно удвоенному отношению квадратов ЕА и AD. Проведем линию ВС366, образующую произвольный угол с линией АВ, и точки D, E, из которых мы проведем параллельные отрезки DO, EP: DO будет представлять наибольшую степень скорости, достигаемую в момент Е временного промежутка ВЕ. А так как ранее мы доказали в отношении пройденных расстояний, что расстояния – одно из которых было пройдено телом, двигавшимся с равномерным ускорением из состояния покоя, а другое за то же время было пройдено другим телом, двигавшимся равномерно со скоростью, равной половине наибольшей скорости, достигнутой при ускоряющемся движении, – равны, из этого следует, что расстояния МН, LH будут такими же, как если бы были пройдены равномерными движениями, скорости которых были бы равны половине PE, OD, за время DA, AE. Таким образом, если бы было показано, что расстояния MH, LH относятся друг к другу как квадраты EA и DA, то наша теорема была бы доказана. Однако в четвертом положении книги I было доказано, что расстояния, пройденные телами, движущимися с постоянной скоростью, относятся друг к другу как произведение отношений скоростей и времени; но здесь отношение скоростей такое же, как отношение промежутков времени (действительно, отношение половины РЕ к половине OD или целого отрезка РЕ к целому отрезку OD также равно отношению АЕ к AD). Таким образом, отношение пройденных расстояний равно удвоенному отношению промежутков времени.
Отношение расстояний равно удвоенному отношению временных промежутков. Наконец перед нами формула, которая дает нам непосредственную зависимость пройденного расстояния от истекшего времени и которая в каком-то смысле следует за движением, не останавливая его. Кроме того, эта формула позволит нам сформулировать королларий, который Галилей считает своим наивысшим интеллектуальным достижением, поскольку он сумел подчинить движение, а следовательно, и время, закону целого числа.
