Время, за которое данное расстояние покоившееся тело проходит с равноускоренным движением, равно времени, за которое то же самое расстояние будет пройдено тем же самым телом, движущимся равномерно со скоростью, равной средней степени между наименьшей и наибольшей степенью вышеупомянутого равноускоренного движения.
Пусть отрезок АВ представляет время, за которое тело (находясь в движении) прошло расстояния CD, двигаясь равноускоренно из состояния покоя; и пусть последняя и наибольшая степень возрастающей скорости за моменты времени АВ будет представлена отрезком ЕВ, произвольным образом проведенным к АВ. Если соединить точки А и Е, то все отрезки, проведенные параллельно ЕВ из всех точек АЕ, будут представлять степени возрастающей скорости после момента А. Далее, если отрезок ВЕ разделить пополам точкой F и провести отрезки FG и AG параллельно BA и BF, получится параллелограмм AGFB, который будет равен треугольнику AEB, и его сторона GF пересекает отрезок AE в точке I, деля его пополам. Если продолжить параллельные отрезки треугольника AEB до IG, то мы получим совокупность (aggregatum) всех параллельных отрезков, содержащихся в четырехугольнике, равную множеству, содержащемуся в треугольнике АЕВ, поскольку отрезки, содержащиеся в треугольнике IEF, равны тем, что содержатся в треугольнике GIA; что касается отрезков, содержащихся в трапеции AIFB, то они общие. Тем не менее, так как всем и каждому моменту времени АВ соответствуют все и каждая точка на отрезке АВЕ и так как параллельные отрезки, проведенные из этих точек, содержащиеся в треугольнике АЕВ, представляют увеличивающиеся степени возрастающей скорости, в то время как отрезки, содержащиеся в параллелограмме, равным образом представляют столько же степеней скорости не возрастающей, но равной [одинаковой], ясно, что в ускоренном движении, сообразно возрастанию отрезков треугольника АЕВ, не хватает столько моментов скорости, сколько в равномерном движении, сообразно отрезкам параллелограмма GB. Действительно, моменты, отсутствующие в первой половине ускоренного движения (а именно моменты, представленные отрезками в треугольнике AGI), компенсируются моментами, представленными отрезками внутри треугольника IEF. Таким образом, ясно, что расстояния, пройденные за одинаковое время двумя телами, одно из которых начало двигаться равноускоренно из состояния покоя, а другое двигалось равномерно, с моментом [скорости], равным половине момента максимальной скорости ускоряющегося движения, будут одинаковыми. Что и требовалось доказать.
