Гильберт полностью

Молодой человек рассмотрел обе проблемы полноты, которые поставил Гильберт в Болонье. Он установил полноту для случая исчисления предикатов. Однако затем ему удалось доказать — со всей строгостью, на которую способна только математика, — неполноту формализованной теории чисел. Он также доказал теорему, из которой следует, что не существует финитного доказательства непротиворечивости формальной системы, достаточно полной, чтобы формализовать все финитные рассуждения.

В высшей степени остроумной работе Гёделя Гильберт рассудком распознал, что цель, достижению которой он посвятил столько усилий с начала этого столетия, — дать окончательный неопровержимый ответ Кронекеру, Брауэру и всем, кто пытался ограничить методы математики, — не может быть достигнута. Классическая математика должна была быть непротиворечивой и, по-видимому, так на самом деле и было; однако эта непротиворечивость никогда не могла быть математически доказана, на что он надеялся и в чём он был уверен.

Безграничная уверенность в могуществе человеческого разума, которая неуклонно вела его к этой последней великой работе своей научной карьеры, не давала ему теперь возможности принять результат Гёделя эмоционально. Кроме того, здесь, быть может, присутствовало чисто человеческое неприятие того факта, что открытие Гёделя служило подтверждением некоторых признаков, которым до этого времени он отказывался придавать значение, что рамки формализма были тесны для намеченной им цели.

Сначала он был только рассержен и разочарован, но затем стал пытаться искать конструктивный подход к проблеме. Бернайс был потрясён тем, что даже теперь, в самом конце своей научной жизни, Гильберт был способен на большие перемены в своих планах. Ещё не было ясно, какое именно влияние окажет на него работа Гёделя. Сам Гёдель чувствовал — и выразил это в своей работе, — что его работа не противоречит формалистской точке зрения Гильберта; и вскоре стало ясно, что теория доказательства могла продолжать плодотворно развиваться, не связываясь больше с первоначальной программой. Расширенные методы должны были допустить ослабление требований формализации. Сам Гильберт сделал теперь первый шаг в этом направлении. Он предложил заменить свою схему полной индукции на более сильное правило, называемое «трансфинитной индукцией». В 1931 году появились две работы в этом новом направлении.

Хотя Гильберт и вышел в отставку, читать лекции в университете он продолжал регулярно. По-прежнему, готовясь к ним в самых общих чертах, он, как и раньше, часто застревал на месте. Когда он чувствовал, что не может закончить доказательство у доски, он, махнув рукой, бросал его, как «совершенно элементарное». Иногда он путался в деталях, непонятно бормотал и повторялся. «Но тем не менее одна из трёх лекций была превосходна!»

Отставка Гильберта положила официальный конец его научной деятельности, в связи с этим начали предприниматься шаги к собранию и изданию его математических работ. Написать биографию для последнего тома попросили Блюменталя, который наблюдал и изучал личность и достижения своего учителя с 1895 года. Хотя Блюменталь уже много лет был профессором в Аахене, он никогда не терял своих тёплых чувств к Гёттингену, возвращаясь сюда время от времени, чтобы (по его словам) «освежиться». Где бы он ни был, даже на фронтах первой мировой войны, он всегда старался организовать клуб бывших жителей Гёттингена. Блюменталь взялся за составление жизнеописания с удовольствием и усердием.

Том I собрания сочинений отводился Zahlbericht и другим теоретико-числовым работам. Для Гильберта, как и для Гаусса, первые годы в Гёттингене были «счастливыми годами». Его работы по полям алгебраических чисел теперь считались самыми глубокими и красивыми из всех его математических работ. Оценить вклад Гильберта в эту область было поручено Хельмуту Хассе, который вместе с Эмми Нётер, ван дер Варденом, Артином и Такаги принял участие в разработке программы теории полей классов, намеченной Гильбертом в своей последней работе по теории чисел.

Оглядываясь в прошлое, Хассе видел, что работа Гильберта по теории алгебраических чисел, как и бoльшая часть других его работ, находилась и по времени, и по содержанию между двумя столетиями. С одной стороны, рассматривая проблемы в большой общности и с применением новых методов, намного превосходивших по элегантности и простоте то, что было до него, Гильберт давал новую жизнь теоретико-числовым работам прошлого столетия. С другой стороны, «с удивительной прозорливостью» он дал набросок путей окончательного решения всего комплекса проблем и указал направление новому столетию.