Гильберт полностью

Классическая теория инвариантов имеет дело с многочленами J = J(x₁, ..., x_n), зависящими от коэффициентов x₁, ..., x_n одной или нескольких форм от данного числа переменных η₁, ..., η_g. Каждая линейная подстановка s с определителем, равным 1, применённая к g аргументам, индуцирует некоторое линейное преобразование U(s): x → x' = U(s)x переменных коэффициентов x₁, ..., x_n. При этом многочлен J = J(x₁, ..., x_n) переходит в новый многочлен J(x'₁, ..., x'_n) = J^s(x₁, ..., x_n). J называется инвариантом, если J^s = J для всех s. (Ограничение унимодулярными преобразованиями s позволяет нам избежать более сложного понятия — относительного инварианта и рассматривать не обязательно однородные многочлены, благодаря чему можно вводить в рассмотрение кольцо инвариантов.) Классическая проблема инвариантов является частным случаем общей проблемы инвариантов, в которой s принадлежит произвольной абстрактной группе Γ, а правило s → U(s) определяет представление этой группы (т.е. закон, сопоставляющий каждому элементу s ∈ Γ некоторое линейное преобразование U(s) n переменных x₁, ..., x_n, причем так, что произведению элементов группы соответствует композиция преобразований). Развитие этой теории до Гильберта привело к двум основным теоремам, доказанным, однако, лишь в весьма специальных случаях.

Первая из них утверждает, что инварианты имеют конечный целый базис. Это означает, что можно найти среди них конечное число таких инвариантов i₁, ..., i_m, чтобы каждый другой инвариант J был представим в виде многочлена от них. Тождественное соотношение между базисными инвариантами i₁, ..., i_m есть многочлен F(z₁, ..., z_m) от m независимых переменных z₁, ..., z_m, обращающийся в нуль после подстановки

z₁ = i₁(x₁, ..., x_n), ..., z_m = i_m(x₁, ..., x_n).

Вторая основная теорема утверждает, что идеал соотношений имеет конечный базис. Это означает, что можно выбрать среди них конечное число соотношений F₁, ..., F_h, для которых каждое соотношение F будет представимо в виде

F = Q₁F₁ + ... + Q_hF_h, (1)

где Q_i — многочлены от переменных z₁, ..., z_m.

Я возьму на себя смелость предположить, что Гильберту удалось сначала доказать вторую теорему. Соотношения образуют подмножество в кольце k[z₁, ..., z_m] всех многочленов от переменных z₁, ..., z_m с коэффициентами из данного поля k. Когда Гильберт нашёл своё простое доказательство, он не мог не заметить, что оно проходит для любого множества многочленов Σ. Тем самым он открыл одну из самых фундаментальных теорем алгебры, которая играет основополагающую роль в наших современных абстрактных методах и которая, утверждает, что

(А) Каждое подмножество Σ кольца многочленов k[z₁, ..., z_m] порождает идеал с конечным базисом.

Будет ли это плохой метафизикой, если добавить, что его доказательство оказалось таким простым потому, что предложение справедливо в столь общей форме? Это доказательство проводится при помощи последовательного присоединения переменных z_i и использования на каждом шаге следующего утверждения. Пусть кольцо r удовлетворяет условию (Р): каждый идеал в r обладает конечным базисом; тогда кольцо многочленов r[z] от одной переменной с коэффициентами в r также удовлетворяет условию (Р). После того как установлено это утверждение, мы получаем не только теорему (А), но и её арифметическое обобщение, предложенное Гильбертом, в котором поле k рациональных чисел заменяется на кольцо целых рациональных чисел.

Подмножество ? соотношений, к которому Гильберт применяет свою теорему (А), само является идеалом, и тем самым идеал {F₁, ..., F_h}, т.е. множество всех элементов вида (1), где Q_iIk[z₁, ..., z_m], не только содержит ?, но и совпадает с ?, Однако доказательство применимо и в случае, когда ? не является идеалом, и даёт одновременно порождающий идеал {?} для ? и устанавливает конечность его базиса, {?} = {F₁, ..., F_h}.

Построение полного набора соотношений F₁, ..., F_h окончательно определило бы алгебраическую структуру кольца инвариантов, если бы оказалось, что любое соотношение представляется в виде (1) только одним способом. Но, так как это, вообще говоря, неверно, нам приходится рассматривать «полиномиальные векторы» M= (M₁ ..., M_h), для которых M₁F₁ + ... + M_hF_h тождественно равно нулю (первые сизигии). Эти линейные соотношения M между многочленами F₁ ..., F_h снова образуют идеал, к которому применима теорема (А). Получаемый таким образом базис M определяет вторые сизигии. К двум первым основным теоремам Гильберт добавляет третью, утверждающую, что можно так выбирать сизигии, что их последовательность обрывается не более чем через m шагов.