Гильберт полностью

В действительности же Гильберт использовал эту теорему как вспомогательное средство для своих исследований по инвариантам. Так как нам приходится иметь дело только с полной линейной группой, мы будем рассматривать только однородные инварианты, не оговаривая этого особо. Отбросим константы (инварианты степени 0). Предположим, что мы нашли ? непостоянных инвариантов J₁, ..., J_? таких, что каждый другой такой же инвариант обращается в нуль на множестве их общих нулей. Разумеется, в качестве таких инвариантов можно взять базис идеала, порождённого всеми непостоянными инвариантами, но мы сможем найти их и значительно более дешёвым способом. Действительно, одно красивое рассуждение Гильберта показывает, что если существует непостоянный инвариант, не обращающийся в нуль в данной точке x = x⁰, то существует и другой инвариант с тем же свойством, вес которого не превосходит некоторой априорной величины W (например, W = 9n(3n + 1)⁸ для инвариантов тернарной формы степени n). Таким образом, J₁, ..., J_? могут быть выбраны из инвариантов, вес которых не превышает W, и, таким образом, поддаются явному алгебраическому построению.

Когда Гильберт опубликовал своё доказательство конечности базиса идеала, формалист Гордан, считавшийся в то время королём инвариантов, воскликнул: «Это — не математика, это — теология!» Гильберт всю жизнь протестовал против недооценки доказательств существования, составляющих «теологию». Однако мы видели, как более детальное исследование позволило ему удовлетворить конструктивистским требованиям Гордана. Применяя процесс Кэли и свою Nullstellensatz, ему удалось показать, кроме того, что каждый инвариант J является целой алгебраической (но не всегда рациональной) функцией от инвариантов J₁, ..., J_?, которая удовлетворяет уравнению

J ^e + G₁J^e–1 + ... + G_e = 0,

где G — полиномы от J₁, ..., J_?. Тем самым, алгебраические расширения такого сорта позволяют перейти от J₁, ..., J_? к базису всей области целостности. После этого известные алгебраические приёмы, аналогичные тем, которые были созданы Кронекером, позволяют дать искомое явное построение.

После формальных исследований, идущих от Кэли и Сильвестра к Гордану, Гильберт открыл новую эпоху в теории инвариантов. Действительно, его новые идеи и мощные методы не только позволили этой области идти в ногу с новейшими алгебраическими достижениями, обязанными Кронекеру и Дедекинду, но и внесли в неё такой вклад, который позволил почти полностью решить все проблемы, во всяком случае относящиеся к случаю полной линейной группы. С вполне оправданной гордостью он завершает свою работу Ueber die vollen Invariantensysteme словами: «Таким образом, я верю, что важнейшие цели теории функциональных полей, образованных инвариантами, достигнуты», после чего покидает сцену ⁴.

Среди исследований, ведущихся с тем пор, как Гильберт ушёл из этой области, следующие два направления представляются самыми важными: (1) Процесс усреднения, применявшийся выше для конечных групп, был перенесён на непрерывные компактные группы. Основываясь на этих трансцендентных методах, Адольф Гурвиц разобрал случай вещественной ортогональной группы. Этот метод оказался чрезвычайно полезным. Простое замечание, что инварианты вещественной ортогональной группы eo ipso ⁵ являются также инвариантами комплексной ортогональной группы, показывает, каким образом эти результаты могут быть перенесены даже на некомпактные группы и, в частности, на все полупростые группы Ли. (2) В настоящее время теория инвариантов для произвольных групп нашла своё естественное место в рамках теории представлений групп линейными подстановками, причём этим развитием мы больше всего обязаны Г. Фробениусу.

Хотя первая основная теорема была доказана для широкого класса групп ?, мы до сих пор не знаем, верна ли она для любой группы. Вскоре обнаружилось, что все попытки доказать её в такой общности не приводят к успеху. Многообещающий алгебраический подход к этой проблеме указан под номером 14 в списке математических проблем, поставленных Гильбертом в Париже.