Гильберт полностью

Остановившись столь подробно на теории инвариантов Гильберта, мы можем только вкратце упомянуть про его другие, более разрозненные алгебраические достижения. Первая работа, в которой проявился настоящий характер молодого алгебраиста, относилась к выяснению условий, при которых вещественная форма представляется в виде суммы квадратов таких форм. В частности, в ней исследовался вопрос о том, является ли очевидное необходимое условие положительной определённости также и достаточным. С помощью изобретательных рассуждений, основанных на использовании непрерывности, а также алгебраических конструкций, Гильберт нашёл три специальных случая, в которых ответ на этот вопрос положителен, среди них, разумеется, случай положительно определённой квадратичной формы. Во всех остальных случаях Гильберт построил контрпримеры. Похожие методы встречаются в двух работах, посвящённых привлекательной проблеме нахождения максимального числа и расположения вещественных овалов алгебраической кривой и поверхности. Гильберт высказал гипотезу, что для любого числа переменных каждая рациональная функция с вещественными (или рациональными) коэффициентами является суммой квадратов таких функций при условии,что все её значения при положительных значениях аргументов являются положительными. В своих Grundlagen der Geometrie он отметил значение этого факта для геометрических построений с помощью линейки и «Eichmass» ⁶. Позднее О. Веблен предложил в качестве основы для различения положительных и отрицательных элементов в любом поле аксиому, гласящую, что никакая сумма квадратов не равна нулю. Независимо от него Э. Артин и О. Шрайер развили подробную теорию таких «вещественных полей», с помощью которой первому из них удалось доказать гипотезу Гильберта ⁷.

В заключение я упомяну про теорему Гильберта о неприводимости, утверждающую, что после подстановки некоторых целочисленных значений во все переменные, кроме одной, неприводимый многочлен определяет неприводимый многочлен от одной переменной.

Кроме того, стоит упомянуть его работу о решении уравнения девятой степени с помощью функций от минимального числа переменных. Эти работы послужили началом многих современных алгебраических работ (Э. Нётер, Н. Чеботарёв и др.). Наконец, следует отметить, что на фундаменте, заложенном Гильбертом, Э. Ласкер и Ф. С. Маколей создали детальную теорию полиномиальных идеалов, позволившую Э. Нётер развить общую аксиоматическую теорию идеалов. Таким образом, в области алгебры, как и в других областях, понятия, введённые Гильбертом, сыграли большую роль в дальнейшем развитии.

Когда Гильберт, покончив с инвариантами, обратился к теории алгебраических числовых полей, эта теория покоилась в основном на доказанной более сорока лет назад теореме Дирихле о единицах и идеальных дивизорах, введенных Куммером, Дедекиндом и Кронекером. Основным объектом её изучения являются алгебраические поля k над полем рациональных чисел Q. Один из самых важных общих фактов, относящихся к основаниям, был открыт Дедекиндом. Он показал, что простые делители дискриминанта — это в точности те простые числа, разложение которых в произведение простых идеалов в поле k содержит кратные сомножители (разветвлённые простые числа). Если l — простое рациональное число, то добавление к k корня l-й степени из числа ?, принадлежащего k, определяет относительное циклическое поле K = k(?^1/l) степени l над k при условии, что k содержит корень l-й степени из единицы ? = e^2?i/l (согласно Лагранжу, любое относительное циклическое поле степени l над k получается таким образом). Надо отметить, что именно последнее обстоятельство заставило Куммера при его попытках доказать теорему Ферма о невозможности решения уравнения ?^l + ?^l = ?^l перейти от поля рациональных чисел Q к круговому полю k_l = Q(?) и затем ввести свои идеальные числа с тем, чтобы определить, взаимно ли просто с l количество классов эквивалентности таких чисел в k_l. Гильберт вошел в эту область, резюмировав результаты Куммера о циклических полях степени l над полем k_l, которые он назвал «куммеровыми полями».