Гильберт полностью

Все эти утверждения повисают в воздухе, пока мы не установим первую основную теорему. Последняя имеет совершенно особый характер, поскольку она относится к конечности базиса области целостности, а не идеала. Рассматривая инварианты, мы имеем дело с кольцом k_x = k[x₁, ..., x_m] многочленов от x₁, ..., x_m над данным полем k. Гильберт применяет свою теорему (А) к множеству J всех инвариантов J, для которых J(0, ..., 0) = 0 (оно образует подкольцо в k_x, а не идеал!), и находит таким образом базис i₁, ..., i_m идеала, порождённого множеством J. Каждый из инвариантов i = i_r может быть представлен в виде суммы i = i⁽¹⁾ + i⁽²⁾ + ... однородных форм степеней 1, 2, ..., и, так как эти слагаемые сами представляют собой инварианты, мы можем считать, что i_r — однородные формы степеней ?_r ? 1. После этого Гильберт утверждает, что многочлены i₁ ..., i_m составляют систему образующих кольца всех инвариантов. Чтобы проиллюстрировать идею доказательства этого утверждения, я рассмотрю случай инвариантов для некоторой конечной группы ?, состоящей из N элементов s (хотя этот случай общей проблемы инвариантов никогда не рассматривался самим Гильбертом). Каждый инвариант J представим в виде

J = c + L₁i₁ + ... + L_mi_m, (L_rIk_x),

(2)

где c = J(0). Если степень J равна ?, то, не нарушая равенства (2), можно избавиться в L_r от всех членов степени, большей ? – ?_r. Если бы нам удалось каким-нибудь способом заменить коэффициенты L_r в (2) на инварианты, то мы получили бы нужное нам утверждение с помощью индукции по степени J. В случае конечной группы это легко можно сделать — надо воспользоваться процессом усреднения. Линейное преобразование U(s) переменных x₁, ..., x_n, определяемое элементом s, переводит (2) в

J = c + L₁^s i₁ + ... + L_m^s i_m.

Суммируя по s и деля полученную сумму на N, мы получаем соотношение

J = c + L₁^* i₁ + ... + L_m^* i_m.

где

Оно похоже на (2), но важно то, что по его построению новые коэффициенты L_r^* являются уже инвариантами ¹.

Фактически Гильберту приходилось иметь дело не с конечной группой, а с классическим случаем, в котором группа ? состоит из всех линейных преобразований s переменных ?₁, ..., ?_g. При этом вместо процесса усреднения ему пришлось воспользоваться дифференциальным методом Кэли, так называемым ?-процессом Кэли, искусное применение которого позволило ему завершить доказательство, (В этом процессе существенно, чтобы g² элементов матрицы s были независимыми переменными, причём вместо абсолютных инвариантов надо рассматривать относительные инвариантные однородные формы данной степени и веса.)

Теорема (A) Гильберта служит краеугольным камнем оснований общей теории алгебраических многообразий. Предположим, далее, что k — поле комплексных чисел. Алгебраическое многообразие, по-видимому, естественно определять как подмножество n-мерного координатного пространства, состоящее из общих решений системы алгебраических уравнений f ₁ = 0, ..., f _h = 0 ( f _iIk_x). Согласно теореме (А) в равной степени можно рассматривать и бесконечные системы уравнений. Пусть Z( f ₁, ..., f _h) обозначает множество точек x = (x₁, ..., x_n), в которых все f _i, а значит и каждый многочлен из идеала F = { f ₁, ..., f _h}, одновременно обращаются в нуль. Любой элемент gI{ f ₁, ..., f _h} обращается в нуль на Z( f ₁, ..., f _h), однако обратное в общем случае неверно. Например, x₁ обращается в нуль там же, где и x₁³ тем не менее его нельзя представить в виде x₁³·q(x₁, ..., x_n). На языке алгебраической геометрии мы имеем здесь дело с простой плоскостью x₁ = 0 и тройной плоскостью, хотя множество точек в обоих случаях одно и то же. Таким образом, на самом деле под алгебраическим многообразием мы понимаем полиномиальный идеал, а не множество его нулей. Но, хотя мы и не можем надеяться, что каждый многочлен g, равный тождественно нулю на множестве Z( f ₁, ..., f _h) = Z(F), будет принадлежать идеалу F = { f ₁, ..., f _h}, мы можем рассчитывать, что по крайней мере некоторая его степень войдет в F. «Nullstellensatz» ² Гильберта утверждает, что так и будет если только k есть поле комплексных чисел. В случае произвольного поля коэффициентов k надо ещё потребовать, чтобы координаты рассматриваемых точек x принадлежали полю k или его некоторому алгебраическому расширению. Очевидно, что Nullstellensatz относится к основам самого понятия алгебраического многообразия ³.