Гильберт полностью

Разобьём множество иделей на классы, относя два иделя к одному классу, если их частное принадлежит группе J_k^*. Тогда факторгруппа J_k/J_k^* называется группой классов, а соответствующее поле K — полем классов. Самый важный пример получается, если взять за J_k^* группу всех единичных иделей ?, значения ?_p которых являются p-адическими единицами во всех простых точках p ¹². В этом случае соответствующие классы совпадают с обычными классами идеалов: два идеала принадлежат одному классу, если их частное является главным идеалом (?), где число ? положительно для всех вещественных бесконечных простых точек. Соответствующее поле классов K, так называемое абсолютное поле классов, имеет относительный дискриминант, равный единице, и представляет собой максимальное неразветвлённое абелево поле над k (теорема II). Его степень n над k равна числу классов идеалов, а группа Галуа изоморфна группе классов идеалов поля k (теорема IV). Если f — наименьшая степень, после возведения в которую идеал p попадает в подгруппу главных идеалов, то p разлагается в произведение n/f различных простых идеалов в K, каждый из которых имеет относительную степень f . Последнее утверждение есть не что иное, как повторение норменного определения поля классов. Таким образом, разложение идеала p в поле K зависит только от того класса, к которому принадлежит p. Замена идеалов на идели даёт самый простой подход к обобщению этой теоремы с неразветвлённого случая, которым в основном занимался Гильберт, на разветвлённый случай, изученный Такаги. Гильберт высказал, кроме того, утверждение, что каждый идеал поля k становится главным в абсолютном поле классов. Мы умеем сегодня доказывать это утверждение, однако с помощью ещё не понятых до конца рассуждений, выходящих за рамки абелевых полей.

Как уже говорилось выше, сам Гильберт не смог доказать эти теоремы в полной общности. Однако, отправляясь от гауссовской теории родов в квадратичных полях и исследований Куммера, он начал постепенно двигаться, разбирая простейшие примеры, создавая на своём пути необходимый запас новых понятий и предложений, до тех пор, пока ему не открылся весь ландшафт полей классов. Мы не можем даже пытаться дать здесь идею высокотехнических доказательств всех результатов. Завершение своей работы он оставил своим последователям. Вероятно, ещё далёк тот день, когда мы будем располагать сравнительно полной теорией относительных числовых полей Галуа.

Кронекер показал, а Гильберт упростил его доказательство, что абелевы поля над основным рациональным полем являются подполями круговых полей и тем самым получаются из трансцендентной функции e^2?ix подстановкой рациональных значений в её аргумент x. Для абелевых полей над мнимым квадратичным полем аналогичную роль играет так называемое комплексное умножение эллиптических и модулярных функций («Jugendtraum ¹³ Кронекера»). В то время как Генрих Вебер вслед за Кронекером и Р. Фютер под руководством Гильберта воплотили эту мечту в реальность, сам Гильберт обратился к модулярным функциям нескольких переменных, определяемых числовыми полями, и исследовал их связь с арифметикой. Этих своих исследований он никогда не публиковал, однако его идеи на основе его заметок были развиты О. Блюменталем, а позже Э. Гекке. Полученные результаты многообещающи, но всё ещё далеки от полноты. Характерным признаком богатства мысли Гильберта является то, что в этот самый продуктивный период своей жизни он передал своим ученикам целый комплекс проблем, столь привлекательных, как связи между теорией чисел и модулярными функциями ¹⁴.

Остаётся отметить особенно простое доказательство трансцендентности чисел e и ?, которым Гильберт открыл серию своих работ по арифметике, и работу 1909 года с доказательством гипотезы Варинга столетней давности. Последнюю работу я бы отнёс к числу его самых оригинальных, но мы не будем на ней более подробно останавливаться, так как десять лет спустя Харди и Литлвуд нашли другой подход, дающий асимптотические формулы для числа искомых представлений. «Круговой метод» Харди—Литлвуда породил в последнее время значительную литературу на эту и смежную с ней тему ¹⁵.

Трудно придумать бoльшую пропасть, чем та, которая отделяла последнюю работу Гильберта по теории числовых полей от его классической книги Основания геометрии, опубликованной в 1899 году. Единственным предвестником последней служила одна заметка 1895 года о прямой как кратчайшей линии. Однако О. Блюменталь сообщает, что уже в 1891 году Гильберт, обсуждая работу Г. Винера о роли теорем Дезарга и Паппа, о которой тот докладывал на одном из математических собраний, сделал замечание, в двух словах передающее суть аксиоматического метода: «Следует добиться того, чтобы во всех геометрических утверждениях слова точка, прямая, плоскость можно было заменить словами стол, стул, кружка».