? ?(t) = I(t)(?) (t = 1, ..., r).
Тем самым, мы говорим об r вещественных бесконечных простых точках q?, .., q(r) с соответствующими гомоморфизмами I? = Iq?, ..., I(r); поля k(q?), ..., k(q(r)) отождествляются с полем вещественных чисел. Тем самым, ? является n-й q?-адической степенью, если уравнение ?? = ??n имеет вещественное решение. Ясно, что это условие нетривиально только для чётных n и эквивалентно в этом случае условию положительности ??. (В комплексной области это уравнение всегда разрешимо вне зависимости от четности n, и именно поэтому мы полностью исключаем из рассмотрения комплексные бесконечные точки.)
Конечные простые точки — это простые идеалы B поля k. При изучении полей Галуа K/k степени n мы вначале исключаем из рассмотрения разветвлённые идеалы p, входящие в относительный дискриминант поля K/k. Каждый неразветвлённый идеал p поля k распадается в K на некоторое число q различных простых идеалов B1, ..., Bq относительной степени f , при этом fq = n. Легко видеть, что p-адическое число ?p ? 0 является p-адической нормой в K тогда и только тогда, когда его порядок (в p) кратен f . В частности, p-адические единицы являются нормами. Таким образом, мы оказываемся в значительно более простой ситуации, чем при определении гауссова символа квадратичного вычета: норменный характер числа ?p зависит только от порядка i этого числа в точке p. Теперь ясно, как надо поступать: мы выбираем первообразный корень f -й степени из единицы ? и полагаем (?p, K) = ?i, если порядок ?p равен i. Построенная функция от ?p является характером и принимает значение 1 на нормах и только на них. Но здесь возникает загвоздка: не существует никакого алгебраического свойства, позволяющего отличать друг от друга несколько первообразных корней f -й степени из единицы. Тем самым, мы имеем произвол в выборе ?. С этим ещё можно было бы смириться, если бы мы имели дело только с одним простым идеалом. Но когда нужно принимать во внимание все простые идеалы, образовывая произведения типа (4), эта неопределённость, казалось бы, уничтожает все надежды на получение простого закона взаимности типа (5). Я не буду описывать тех ухищрений, с помощью которых Эйзенштейну, Куммеру и Гильберту удалось выйти из этого трудного положения. Намного лучшее решение было найдено Артином. Если поле K/k абелево, то для K и p однозначно определена подстановка Фробениуса K/p, которая является элементом порядка f группы Галуа ? расширения K/k. Пусть этот элемент и явится заменой ? в нашем окончательном определении p-адического норменного символа:
(?p, K) = | ( | ?, K p | ) | = | ( | K p | ) | i | , |
| (6) |
если порядок ?p в p равен i. Теперь для любого иделя ? мы можем образовать произведение
? | (?p, K) = | ? | ( | ?, K p | ) | = (?, K), |
p | | p | |
распространённое по всем конечным и бесконечным (вещественным) простым точкам p, и сформулировать закон взаимности, утверждающий, что (?, K) = 1 для любого главного иделя ?. Всё это было бы хорошо, если бы мы только не исключили в нашем определении (?p, K) некоторых специальных p, а именно бесконечных точек и разветвлённых простых идеалов. В одном специальном случае с помощью чрезвычайно сложных вычислений Куммеру удалось дать правильное определение (?p, K) для исключительных p. Четвёртое открытие Гильберта состоит в изобретении простого и остроумного приёма, позволившего преодолеть это трудное препятствие, ставшее на пути дальнейшего прогресса. Ограничимся вначале иделями, являющимися n-ми степенями в наших исключительных точках. Другими словами, предположим, что уравнение ?p = ?pn разрешимо для p-адических значений ?p иделя ? для этого конечного числа точек. В этом случае определить (?, K) не представляет никакого труда:
штрих здесь означает, что произведение берется только по неисключительным простым точкам, где мы знаем определение (?p, K). При тех же ограничениях мы доказываем (вместе с Артином) закон взаимности
(?, K) = 1, если ? главный, | (7) |
и замечаем, что, по определению, (?, K) = 1, если ? — норма. Вернёмся к произвольному иделю ?. Легко видеть, что существует эквивалентный идель ?* ~ ?, который является n-й степенью для всех исключительных простых точек, хотя таких ?* будет, разумеется, бесконечное число. Тем не менее ограниченный закон взаимности гарантирует нам, что
принимает одинаковое значение для всех таких ?*. Именно это значение мы и возьмём за определение (?, K). Приняв это определение, мы получаем, что закон взаимности (7) и утверждение, что (?, K) = 1 для любой нормы, имеют место без всяких дополнительных предположений. Таким образом, сам закон взаимности становится средством для того, чтобы можно было следить за исключительными точками!
