Гильберт полностью

p-адические числа образуют поле Q(p), а p-адические нормы составляют в его мультипликативной группе G_p ненулевых чисел подгруппу индекса 1 или 2. Цикличность факторгруппы является существенным обстоятельством. Легко видеть, что p-адические квадраты образуют подгруппу G_p² индекса 4, если p ? 2, и 8, если p = 2, а факторгруппа G_p/G_p² не является циклической и, следовательно, не может быть описана одним-единственным характером. Разумеется, каждый p-адический квадрат является p-адической нормой в K. Оба шага, замена квадратов K-нормами и переход от модуля p к произвольно большим степеням p, из которых первый позволяет ослабить, а второй усилить условие Гаусса для квадратичного вычета, одинаково существенны для успеха введённого Гильбертом определения.

Каждое p-адическое число a_p ? 0 представимо в виде p^he_p, где e_p — p-адическая единица, тем самым a_p имеет определённый порядок h (относительно p). Каждое обыкновенное рациональное число a совпадает с некоторым p-адическим числом I_p(a) = a_p. Здесь I_p обозначает гомоморфизм вложения поля Q в поле Q(p):

I_p(a + a?) = I_p(a) + I_p(a?), I_p(aa?) = I_p(a)I_p(a?).

обозначается также через (I_p(a), K).

Мы подходим ко второму открытию Гильберта; он пришёл к заключению, что нельзя получить простые законы, пока мы не добавим к «конечным простым точкам» p одну бесконечную простую точку q. По определению q-адические числа являются вещественными числами, a I_q(a) — рациональное число, совпадающее с самим a.

Таким образом, вещественное число является q-адической нормой в K, если уравнение a_q = x² – by² имеет решение в вещественных числах x, y. Ясно, что при b > 0, т.е. в случае вещественного поля K, это выполняется для всех a_q. Если же b < 0, т.е. K — мнимое поле, то только положительные числа a_q являются q-адическими нормами.

Тем самым,

Тот факт, что норменный символ является характером, для бесконечной простой точки проверяется, тем самым, намного легче, чем для конечных точек.

Третье замечание Гильберта состоит в том, что закон взаимности Гаусса вместе с двумя его дополнениями может быть записан следующей изящной формулой:

где произведение берётся по всем конечным и бесконечным простым точкам p. Это произведение вполне определено, так как почти все множители (т.е. все, за исключением конечного числа) равны 1. Действительно, если p не входит в дискриминант поля K, то (a_p, K) = 1 для любой p-адической единицы a_p. Формула (3) является первым настоящим успехом идеи норменного символа. Она дала Гильберту уверенность в том, что высшие законы взаимности должны формулироваться в терминах норменных вычетов.

Каждое рациональное число a определяет для каждой простой точки p p-адическое число a_p = I_p(a). Какие свойства этого сопоставления используются при образовании произведения (3)? Очевидный ответ на этот вопрос даёт понятие иделя, введённое Шевалле: идель a есть функция, ставящая в соответствие каждой точке p некоторое p-адическое число a_p ? 0, которое является p-адической единицей почти для всех p. Относительно операции умножения функций идели образуют группу J_k. Соответствие p a_p = I_p(a) определяет для каждого рационального числа a ? 0 некоторый идель, называемый главным иделем a. Для иделей a мы можем снова вернуться к нашим прежним обозначениям

вместо (a_p, K). Формула

определяет характер ?_K, норменный характер на группе J_k всех иделей. Закон взаимности в форме Гильберта (3) утверждает, что для главных иделей a

По самому определению норменного символа (a_p, K) это же равенство имеет место, если a является нормой в K, т.е. для любой точки p a_p есть p-адическая норма в K. Два иделя a и a? называются эквивалентными, если их отношение a?a^–1 является главным иделем. Обозначим, через Nm J_K группу всех иделей, эквивалентных нормам в K. Тогда равенство (5) имеет место для всех иделей a из Nm J_K, и было бы интересно узнать, только ли для них это верно, или, другими словами, узнать, является ли Nm J_K подгруппой индекса 2 в группе J_k.

Теперь мы достигли такого уровня, когда наш опыт обращения с квадратичным полем K над основным рациональным полем Q позволяет нам перейти к произвольному относительному абелеву полю K над заданным алгебраическим числовым полем k = Q(?). Прежде всего надо сказать о бесконечных простых точках поля k. Его определяющее уравнение f (?) = 0 есть неприводимое уравнение в поле Q некоторой степени m и, тем самым, имеет в множестве комплексных чисел m различных корней ??, ??, ..., ?^(m). Предположим, что r из них вещественны, пусть это будут ??, ..., ?^(r). Каждый элемент ? из k имеет r вещественных сопряжённых элементов ??, ..., ?^(r). При этом ?^(t) определяется как образ ? при гомоморфизме I^(t) из k в поле вещественных чисел: