Если значение (?, K) становится известным для любого иделя ?, мы можем вычислить (?p, K) для заданной точки p и заданного p-адического числа ?p ? 0, взяв значение (?, K) на «примарном» иделе, также обозначаемом через ?p, равным ?p в точке p и 1 во всех остальных простых точках. (Идель ? является произведением своих примарных компонент ?p.) Можно ожидать, что будут выполняться следующие два свойства:
I. (?p, K) = 1 тогда и только тогда, когда ?p является p-адической нормой.
II. Для данного простого идеала p (?p, K) = 1 для каждой p-адической единицы ?p тогда и только тогда, когда p неразветвлён.
Выше уже были установлены условия достаточности из I и II:
(I0) если ?p — норма, то (?p, K) = 1;
(II0) если p неразветвлён, то (?p, K) = 1 для каждой p-адической единицы ?p.
Обратное утверждение к (I0) тривиально для неисключительных точек, но для исключительных точек из-за неявного определения норменного символа доказательство обратных утверждений к (I0) и (II0) довольно сложно. Утверждение II показывает, что для любого простого разветвлённого идеала p норменный характер ?p зависит не только от порядка ?p; тем самым то простое свойство, которое делает возможным определение (6), распространяется только на неразветвлённые идеалы p. Можно было бы надеяться также на справедливость утверждения:
III. Если главный идель ? является идельной нормой в поле K, то число ? есть норма в K.
Это верно для циклических полей K/k, но, вообще говоря, неверно для произвольных абелевых полей.
Обозначим снова через Nm JK подгруппу группы Jk, состоящую из иделей, эквивалентных нормам. Тогда норменный символ ?K(?) = (?, K) определяет гомоморфное отображение факторгруппы Jk/Nm JK в группу Галуа поля K/k. Можно было бы надеяться, что это отображение взаимно однозначно:
IV. Отображение норменного символа устанавливает изоморфизм факторгруппы Jk/Nm JK на группу Галуа поля K/k.
Утверждения I, II, IIIc (индекс c означает ограничение циклическими полями) и IV составляют основные предложения того, что можно назвать норменной теорией относительных абелевых полей. Они справедливы для каждого такого поля K/k.
Имеется другая часть этой теории, собственно теория полей классов, которая относится к вопросу о связи множества всевозможных относительных абелевых полей K над k со структурой группы Jk иделей поля k. Каждое такое поле K определяет, как мы видели выше, подгруппу конечного индекса Nm JK группы Jk. Возникает вопрос: какие именно подгруппы Jk* группы Jk получаются таким способом из абелевых полей K/k? Ясно, что необходимыми условиями являются следующие:
1) | Каждый главный идель принадлежит Jk*. |
2) | Существует такое натуральное число n, что каждая n-я степень иделя принадлежит Jk*. |
3) | Существует такое конечное множество точек S, что ?IJk*, если ? является единицей во всех точках и равно 1 для точек из S. |
Основная теорема теории полей классов утверждает, что эти условия являются также и достаточными.
V. Для любой подгруппы Jk* группы Jk, удовлетворяющей трём предыдущим условиям (и, в частности, конечного индекса), существует однозначно определённое абелево поле K/k такое, что Jk* = Nm JK.
