Гильберт полностью

Неравенство Бесселя утверждает, что сумма квадратов коэффициентов Фурье x_n не превосходит интеграла от квадрата функции x(s). Полнота, впервые введённая А. Гурвицем и подробно исследованная В. Стекловым, требует, чтобы в этом неравенстве было на самом деле равенство. Таким образом, теорема о квадратичных формах от бесконечного числа переменных даёт одновременно результат как о собственных значениях, так и о собственных функциях для симметрических ядер K(s, t) — точнее, давала бы, если бы мы могли рассчитывать на равномерную сходимость ряда ? x_nu_n(s) для любого заданного вектора (x₁, x₂, ...) из гильбертова пространства. В специальном случае собственных векторов квадратичной формы (13), соответствующей интегральной форме (12),

Гильберт решает этот вопрос, составляя равномерно сходящийся ряд

который представляет на самом деле непрерывную функцию ?(s) с n-м коэффициентом Фурье

И таким образом он получает собственную функцию для K(s, t) с собственным значением ?. Вскоре после этого под влиянием идей Гильберта Э. Фишер и Ф. Рисс доказали свою хорошо известную теорему о том, что пространство всех функций x(s) с интегрируемым по Лебегу квадратом удовлетворяет всем свойствам полноты гильбертова пространства и, тем самым, с помощью полной ортонормированной системы u_n(s) эти пространства изоморфно отображаются друг на друга. Я упоминаю эти подробности ввиду того, что историческая последовательность событий может быть забыта многими из более молодых математиков, для которых гильбертово пространство представляет то абстрактное понятие, которое не различает эти свои две реализации — пространство интегрируемых с квадратом функций x(s) и пространство последовательностей с суммируемым квадратом (x₁, x₂, ...). Я думаю, что Гильберт вполне разумно придерживался рамок непрерывных функций там, где не было настоящей потребности вводить общие понятия Лебега.

Быть может, самым великим достижением Гильберта в области интегральных уравнений является его обобщение теории спектрального разложения с вполне непрерывных на так называемые ограниченные квадратичные формы. Он находит, что в этом случае спектр будет содержать точки накопления и, кроме того, будет присутствовать и непрерывная часть. И снова Гильберт использует непосредственный переход к пределу, увеличивая число переменных ad infinitum ²⁷. И как прежде, вскоре после этого были найдены простые доказательства его результатов.

Расширяя таким образом границы этой общей теории, он не упускает из виду обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных, которые дали ей начало. Одновременно с молодым итальянским математиком Эудженио Элиа Леви он развил метод параметрикса, перебрасывающий мост между дифференциальными и интегральными уравнениями. Для заданного эллиптического дифференциального оператора второго порядка ?^* параметрикс K(s, t) представляет собой нечто вроде качественного приближения к функции Грина, как и последняя, завися от значений аргумента s и параметра t. Предполагается, что он обладает регулярной особенностью при s = t, так что неоднородное уравнение ?^* = f для

сводится к интегральному уравнению ? + L? = f относительно функции плотности ? с ядром L(s, t) = ?_s^*K(s, t), достаточно регулярным при s = t, чтобы к нему была применима теория Фредгольма. Здесь важно отбросить предположение, что функция K удовлетворяет уравнению ?^*K = 0, так как в общем случае неизвестно фундаментальное решение для данного дифференциального оператора ?^*. Чтобы не заботиться о граничных условиях, Гильберт предполагает, что область интегрирования представляет собой компактное многообразие типа сферической поверхности. В зтом случае он показывает, что его метод применим, если параметрикс не только имеет регулярную особенность, но и является симметричным относительно аргумента и параметра.