Это могло бы означать конец принципа Дирихле, но этого не случилось. Хотя на некоторое время математики и отвернулись от теории Римана, она была слишком важна в математической физике, чтобы сбрасывать её со счетов. Так как сам принцип оказался в общем случае неверным, математикам пришлось изобретать различные искусные
К тому времени, когда Гильберт обратился к принципу Дирихле, математики потеряли всякую надежду на его спасение. Совсем незадолго до этого Карл Нейман (сын Франца Неймана), которому принадлежали одни из важнейших работ в этой области, посетовал на то, что принцип Дирихле, «такой красивый и имеющий такие важные приложения в будущем, навечно исчез из поля зрения».
В отличие от многих своих современников, для которых требование строгости было обузой, Гильберт был твёрдо убеждён, что строгость ведёт к упрощению. Он испытывал чувство глубокого восхищения перед тем, как Вейерштрасс смог преобразовать интуитивный анализ непрерывности в строгую и логическую систему. Однако он не позволил дать себя увлечь вейерштрассовской критикой принципа Дирихле. Для него, как он говорил, «заманчивая простота и несомненное богатство возможных приложений» принципа сочетались с «убеждённостью в заложенной в нём истине».
Характерной чертой для подхода Гильберта к математике являлось рассмотрение заложенных в ней понятий с простейших, исходных точек зрения. Так поступил он и теперь «со всей наивностью и свободой от традиций и предубеждений, характерными только для истинно великих исследователей», как заметил один из его более поздних учеников. В сентябре 1899 года, спустя почти пятьдесят лет после диссертации Римана, он смог представить Германскому математическому обществу первую попытку того, что в ответ на замечание Неймана он назвал «воскрешением принципа Дирихле».
За несколько минут — вся работа, включая введение, занимала всего около пяти страниц — он показал, как, накладывая некоторые ограничения на кривые и граничные условия, можно устранить возражения Вейерштрасса и вернуть теории Римана её первоначальную красоту и простоту. Согласно одному американскому математику, присутствовавшему на этом собрании, этот подход к знаменитой проблеме вызвал «всеобщий восторг и удивление». Само рассуждение было простым, однако вовсе не интуитивным. Клейн отметил с восхищением: «Гильберт прижал волосы на поверхностях» 12.
(Спустя шесть лет, по случаю столетия Гёттингенского научного общества, Гильберт снова вернулся к принципу Дирихле и привёл второе доказательство.)
«Работы Гильберта в этой области принадлежат к его наиболее глубоким и выдающимся достижениям. Они знаменуют больше, чем завершение целого этапа, — писал один из его более поздних учеников, которому также принадлежит важная заслуга в этой области. — Доказательство существования Гильберта не только было существенно упрощено и обобщено усилиями многих математиков, но ему был также придан важный конструктивный характер. Физик Вальтер Ритц создал под влиянием Гильберта из реабилитированного принципа Дирихле мощный метод для численного решения краевых задач, пользуясь дифференциальными уравнениями в частных производных, метод, который уже в наше время превратил вычислительные машины в становящееся всё более эффективным средство численной математики...»
После своего успеха с принципом Дирихле Гильберт впервые в своей научной деятельности решил прочитать в зимнем семестре 1899–1900 года курс вариационного исчисления. Последнее представляет собой область анализа, имеющую дело с задачами на нахождение экстремума, в которых (как и в случае проблемы Дирихле) минимизируемая или максимизируемая величина зависит не от одного численного аргумента и даже не от конечного их числа, а от целой переменной кривой, или функции, или даже от системы переменных кривых.
Гильберту уже не раз удавалось убеждаться на опыте, что отдельные знаменитые задачи составляют жизненную силу математики. По этой причине вариационное исчисление его особенно привлекало. Это была математическая теория, выросшая из решения одной конкретной задачи.
Проблема «линии скорейшего спуска» была предложена Иоганном Бернулли в конце XVII века как вызов математикам того времени, а особенно своему старшему брату Якобу, которого он публично осмеивал за его некомпетентность. Несколько математиков (включая Ньютона) предъявили решения; однако презираемый старший брат превзошёл всех своим «довольно неизящным» решением. В нём удалось выявить факт, кроме него никем не замеченный, что задача отыскания в бесконечном множестве возможных кривых одной, обладающей заданным свойством минимальности или максимальности, представляет существенно новый тип задач, требующих для своего решения создания новых методов.
Одним из студентов, посещавших в то время лекции Гильберта по вариационному исчислению, был Макс фон Лауэ.
