Гильберт полностью

«Рассмотрим объекты трёх различных сортов, — говорил он. — Объекты первого сорта будем называть точками и обозначать их буквами A, B, C, ...». «Объекты» остальных двух сортов он назвал прямыми и плоскостями. Между этими «объектами» могут выполняться некоторые соотношения, которые он снова предпочёл называть такими знакомыми терминами, как инцидентны, между, параллельны, конгруэнтны, непрерывны и т.д. Однако, как и сами объекты, соотношения между ними не определяются привычными представлениями о них. Например, первоначальные термины могут обозначать любые объекты с единственным условием, что каждой паре объектов, называемых точками, должен соответствовать один и только один объект, называемый прямой линией, и аналогично для других аксиом.

Результатом такого подхода был тот факт, что теоремы такой геометрии справедливы для любой интерпретации первоначальных объектов и основных соотношений, для которой выполняются аксиомы. (Много лет спустя Гильберт был в высшей мере восхищён, когда обнаружил, что с помощью применения некоторого определённого набора аксиом можно получить законы, управляющие наследственностью дрозофилы: «Так просто и точно и в то же время так таинственно, что никакая смелая фантазия не могла бы этого предсказать!».)

В своих лекциях Гильберт предложил теперь положить в основание геометрии простой и полный список независимых аксиом, позволяющий доказать давно известные теоремы классической геометрии Евклида. Его подход — оригинальное сочетание абстрактной точки зрения и конкретного традиционного языка — был особенно эффективным. «Это было похоже на яркое солнце, внезапно засиявшее над долиной, сквозь мрачные сумерки которой до этого могли найти путь только люди с особым чувством ориентации», — писал позже один из его студентов. Выбрав систему аксиом евклидовой геометрии, немногим отличавшуюся по духу от аксиом самого Евклида, Гильберт смог менее формально и с большей убедительностью и ясностью, чем Пеано или Паш, продемонстрировать существо аксиоматического метода. Его подход был понятен слушателям его лекций, знакомых только с самими Началами Евклида. Для специалистов, которым Начала, несомненно, послужили введением в настоящую математику, этот подход был особенно привлекательным, «как будто смотришь в лицо, хорошо знакомое и в то же время величественно преображенное».

В период этих лекций по геометрии в Гёттингене велись приготовления к церемонии открытия памятника Гауссу и Вильгельму Веберу; им обоим — одному в математике, другому в физике — университет был обязан своей двусторонней научной традицией. Для Клейна эта церемония представляла случай ещё раз подчеркнуть органическую связь математических и физических наук. Обсерватория Гаусса не была башней из слоновой кости. Кроме открытий в математике, ему принадлежат почти равные по важности достижения в физике, астрономии, геодезии, электромагнетизме и механике. Широте своих интересов он был во многом обязан сотрудничеству с Вильгельмом Вебером. Вместе они изобрели электромагнитный телеграф, передававший сигналы на расстояние более трёх километров. Памятник изображал их обоих, рассматривающих своё изобретение. Продолжение и укрепление в Гёттингене традиций сочетания абстрактной математики с глубоким интересом к физическим проблемам было главной мечтой Клейна. Теперь он предложил Эмилю Вихерту подготовить для юбилейного издания свои недавние лекции по основаниям электродинамики, то же самое он предложил Гильберту относительно его лекций по основаниям геометрии. (Это был тот самый Вихерт, который был официальным оппонентом Гильберта на его выпускных экзаменах в Кёнигсберге, а теперь так же, как и он, профессор в Гёттингене.) Эпиграфом к своей работе Гильберт выбрал цитату из Канта, отдавая тем самым должное своему согражданину, чей априорный взгляд на природу геометрических аксиом был поколеблен новым аксиоматическим методом: «Любое человеческое знание начинается с интуиции, затем переходит к понятиям и завершается идеями».

Хотя времени было в обрез, он успел отослать корректуру этой работы в Цюрих, чтобы Минковский смог её просмотреть. Как всегда, оценка Минковского была высокой и пророческой. По его мнению, работа должна была стать классической и оказать большое влияние на мышление современных и будущих математиков.

«Совсем незаметно, что в конце работы тебе пришлось так сильно спешить, — уверял он Гильберта. — Быть может, если бы у тебя было больше времени, работа утратила бы впечатление свежести».