Пуанкаре несколько раз неодобрительно комментировал эту идею. Французский математик был убеждён, что принцип полной, или математической, индукции свойствен интеллекту («на языке Кронекера, — как однажды Гильберт прокомментировал эту точку зрения Пуанкаре, — создан богом») и поэтому этот принцип нельзя доказать, не используя эту же полную индукцию.
Гильберт не взялся выполнять своё пожелание, высказанное в Гейдельберге. Вместо этого он снова принялся за свою теорию интегральных уравнений и одновременно, в компании с Минковским и по его предложению, начал изучать классическую физику.
Минковский был уже хорошо знаком с технической стороной в области физики; Гильберт не имел об этом почти никакого представления и был знаком только с основными положениями теории. Тем не менее он отнесся к этому проекту с энтузиазмом. Во второй раз с момента окончания учебы — первый был связан с
Клейн с интересом следил за этими совместными занятиями физикой. В возрасте 17 лет он был ассистентом у Юлиуса Плюккера в Бонне. В то время он решил, что «после приобретения необходимых знаний в математике» он посвятит свою жизнь физике. Затем спустя два года Плюккер умер (аналогично тому, как в период жизни Минковского в Бонне умер Генрих Герц). Переезд в Гёттинген, где математики составляли значительно более энергичную группу, чем физики, сделал из Клейна математика, а не физика.
Занятия физикой продолжались. На Минковского сильное впечатление производили загадки электродинамики, связанные с недавними работами Х. А. Лоренца. Однако это не отвлекало Гильберта от его собственных занятий интегральными уравнениями. В 1904 году он послал второе сообщение научному обществу, в котором существенно развил идею Фредгольма. В своей классической работе Фредгольм открыл аналогию между интегральными уравнениями и линейными алгебраическими уравнениями. Гильберт пошёл теперь дальше и нашёл аналог приведения квадратичной формы от
Рихард Курант, студент в Геттингене.
Неспециалист лучше всего поймёт дух и значение этой работы в следующей её оценке, которую даст впоследствии один из студентов Гильберта.
«Важность научного достижения часто не ограничивается получением новых результатов вдобавок к уже имеющимся, — отметит Рихард Курант. — Не менее важным для прогресса науки может быть новое понимание, которое вносит порядок, ясность и простоту в уже существующие, но труднодоступные области и тем самым облегчает или даже впервые даёт возможность обозреть, понять и в совершенстве овладеть наукой как единым целым. Мы не должны забывать этой точки зрения в связи с работой Гильберта в области анализа... ибо [всё это] демонстрирует характерное для него стремление найти в решении новой проблемы такие методы, которые помогают преодолеть старые трудности, устанавливают новые связи между уже имеющимися результатами и сливают в единое русло многочисленные потоки индивидуальных исследований».
Именно в этот счастливый, творческий период жизни Гильберта он получил новое приглашение покинуть Гёттинген. Лео Кёнигсбергер оставит свою кафедру в Гейдельберге, если Гильберт согласится её принять.
Хотя Кёте одобряла эту перемену, Гильберт отказался от приглашения.
Однако он не преминул использовать возможность для переговоров о дальнейших выгодах для математики ценою своего отказа покинуть Гёттинген. На одно из его предложений Альтхоф возразил: «Но мы не имеем этого даже в Берлине!»
«Ja 5, — радостно заметил Гильберт, — но Берлин ведь не Гёттинген!»
В начале двадцатого столетия студентам-математикам всего мира давался один и тот же совет: «Собирайте свои вещи и отправляйтесь в Гёттинген!»
