Гильберт полностью

Для Брауэра ни язык, ни логика не были неотъемлемо связаны с математикой, в основе которой, по его мнению, лежала интуиция, делавшая её выводы и понятия непосредственно ясными. Вейлю казалось, что Брауэр «открыл нам глаза и заставил нас увидеть, насколько общепринятая математика зашла дальше таких утверждений, справедливость и реальный смысл которых основан на очевидности».

Брауэр, например, отказался принимать логический принцип исключённого третьего, хотя со времен Аристотеля математики без колебаний принимали, что для любого утверждения A существуют только две возможности — либо A, либо не A. Брауэр теперь настаивал на том, что существует третья возможность — другими словами, среднее, которое нельзя исключить.

Его рассуждение было следующим.

Пусть A есть утверждение: «В множестве S существует элемент со свойством P». Если S конечно, то в принципе можно перебрать все элементы этого множества и определить, что или в S существует элемент со свойством P, или любой элемент из S этим свойством не обладает. Тем самым для конечных множеств Брауэр допускал принцип исключённого третьего. Он отказывался его принимать для бесконечных множеств, так как для таких множеств S мы не можем, даже в принципе, перебрать все элементы множества. Если в процессе перебора мы находим элемент со свойством P, то первая альтернатива выполняется, но если мы не можем найти такого элемента, то про вторую альтернативу ещё ничего нельзя сказать, так как мы не провели перебор до конца.

Из-за того, что в математике теоремы часто доказываются приведением отрицания теоремы к противоречию, третья возможность, указанная Брауэром, должна была бросить тень на многие из общепринятых математических утверждений.

«Изъять из математики принцип исключённого третьего, — говорил Гильберт, — всё равно что... запретить боксёру пользоваться кулаками».

Возможные потери, по-видимому, не волновали Вейля. «За программой Брауэра будущее», — убеждал он своих друзей в Цюрихе.

«Герман, это математика без пиджака», — говорил ему Дьёрдь Пойа, считая, что он пытается её несколько оголить.

Вейль тотчас же предложил Пойа заключить пари о будущем двух конкретных утверждений, которые были бы исключены из математики, если бы идеи Брауэра восторжествовали. В последнем Вейль не сомневался, причём считал, что это произойдёт в течение ближайших 20 лет. Выигравший должен был определиться в 1938 году в зависимости от того, согласится ли Пойа признать, что два следующих предложения:

* каждое (непустое) ограниченное множество вещественных чисел имеет точную верхнюю грань,

* каждое неограниченное подмножество вещественных чисел содержит счётное подмножество,

— являются, на самом деле, полностью неопределёнными и «спрашивать, справедливы они или ложны, — это всё равно что спрашивать то же самое об основных идеях философии Гегеля». Если к 1938 году Пойа и Вейль не придут к единому мнению о положении дел в математике, то решающее мнение будет определено большинством среди профессоров математики Швейцарского федерального института и университетов Цюриха, Берлина и Гёттингена. Проигравший должен будет опубликовать условия пари и официально признать своё поражение в Jahresbericht ⁶ Германского математического общества.

Сам Гильберт никогда не прочитал и строчки из работ Брауэра. Он всё больше избегал чтения статей, предпочитая получать информацию из лекций и бесед. Вейль был приглашен в Гёттинген, чтобы выступить перед Математическим клубом об интуиционизме.

Надо помнить, что на конгрессе в Гейдельберге, вскоре после открытия Расселом и Цермело фундаментальных парадоксов теории множеств, Гильберт набросал математико-логическую программу, предназначенную, по его мнению, «раз и навсегда» уничтожить все сомнения в надёжности оснований математики и методов математических рассуждений. Погрузившись в последующие за этим годы сначала в интегральные уравнения, а затем в физику, он, казалось, забросил этот проект. И действительно, незадолго до войны Блюменталь, прогуливаясь с Гильбертом и вспоминая конгресс в Гейдельберге, заметил, что, по-видимому, так ничего и не вышло из его идеи «теории доказательств». Гильберт оставил это замечание без комментариев, в то время как (вспоминал позже Блюменталь) госпожа Гильберт улыбнулась.

После этого конгресса в изучении оснований математики произошло несколько важных сдвигов. Цермело доказал теорему о полной упорядочиваемости и создал свою систему аксиом теории множеств. Рассел и Уайтхед опубликовали свои Principia Мathematica. Однако сам Гильберт не возвращался к основаниям математики, по крайней мере публично, до 1917 года.