Во всяком описании остаётся некоторая неопределённость во времени t. Напомним, что согласно соотношению неопределённости величина t связана с неопределённостью E в величине энергии, которой обменялись во время соударения пробное тело и тело, воспринимающее удар, соотношением
E
·
t
~
h
.
(27)
Так как для обоих тел между энергией и компонентами количества движения (импульса) и скорости имеет место соотношение
dE
=
v
x
dp
x
,
(28)
то из предыдущего уравнения непосредственно следует, что
p
x
|
v
''
x
-
v
'
x
|
t
~
h
.
(29)
Для достаточно тяжёлого пробного тела входящее сюда изменение |v''x - v'x| его скорости при измерении импульса может считаться известным сколь угодно точно (мы об этом говорили выше). Но и тогда множитель
|
v
''
x
-
v
'
x
|
t
=
x
(30)
означает, очевидно, допуск в положении тела относительно фиксированной системы отсчёта, что находится в полном соответствии с соотношениями неопределённости (16). Из формулы (30) непосредственно вытекает условие
x
c
t
,
(31)
которое вместе с (16) даёт абсолютный нижний предел неточности px при измерении импульса за промежуток времени с верхним пределом t Но ввиду релятивистской инвариантности соотношений (16) и (27), а также (28) это обстоятельство не налагает каких-либо ограничений на формулировку и применимость принципа неопределённости. К тому же в нашей задаче допустимо при рассмотрении механической стороны вопроса пренебрегать всякими поправками на теорию относительности. В самом деле, если пользоваться достаточно тяжёлыми пробными телами, всегда окажется возможным устроить так, чтобы в течение всего процесса измерения скорости всех пробных тел оставались малыми по сравнению со скоростью света. Поэтому мы можем даже всегда рассматривать смещения x при измерениях импульса как малые величины по сравнению с соответствующим значением ct которое и само может быть сделано сколь угодно малым.
Возможность измерить полный импульс протяженного тела в течение наперёд заданного промежутка времени и с требуемой точностью, выражаемой формулами (16), обусловлена именно тем, что служащий для измерения импульса процесс может быть точно прослежен относительно данной пространственно-временной системы отсчёта. Так, полный импульс используемой в качестве пробного тела системы заряженных тел, его составляющей, может быть определён посредством одного-единственного столкновения. Для этого тело, воспринимающее удар, должно иметь особую конструкцию: оно должно приходить в соприкосновение со всеми частями пробного тела и каждой из них сообщать одинаковое ускорение в одно и то же время. Конечно, такое устройство предъявляет конструкции пробных тел и тела, воспринимающего удар, обширные требования, которые, однако, в принципе выполнимы, если только пренебрегать атомной структурой тел.
Рассматриваемое измерение полного импульса пробного тела можно, по-видимому, проще всего осуществить оптическим путём, если использовать эффект Допплера, например, следующим образом. Представим себе, что каждая составная часть пробного тела снабжена маленьким зеркалом, перпендикулярным направлению оси x представим себе также ряд других зеркал, закреплённых так, чтобы длина светового пути от источника излучения до каждой из составных частей пробного тела была одной и той же. С помощью надлежащего приспособления можно запустить пучок света длительности t, содержащий достаточно большое число световых квантов (это число должно быть весьма велико по сравнению с числом составных частей пробного тела). Тогда все эти составные части одновременно получат толчок и испытают ускорение, которое можно с заданной точностью считать одинаковым.
Покажем, что при помощи такого приспособления можно в самом деле определить полный импульс пробного тела с точностью, допускаемой соотношением (16). Для этого необходимо несколько подробнее рассмотреть взаимодействие между системой, составляющей пробное тело, и световым пучком. При упомянутом выше предположении о том, что скорость пробного тела мала по сравнению со скоростью света, мы получим для каждой из его составных частей
m
(
v
''
,x
-
v
'
,x
)=
h
c
n
('+'')
,
1
2
m
(
v
''
,x
-
v
''
,x
)=
h
n
('+'')
.
(32)
Здесь m — масса составной части, v',x и v'',x — её скорости до и после отражения света, а суммирование распространяется на все отражённые от данной составной части световые кванты (числа n) с угловыми частотами ' до и '' после отражения (угловая частота равна 2, делённому на период). Значение до и после столкновения компоненты импульса данной составной части будет согласно (32) равно
p
'
,x
=
m
v
'
,x
=
m
c
('-'') n
('+'') n
-
1
2
h
c
n
('+'')
p
''
,x
=
m
v
'
,x
=
m
c
('-'') n
('+'') n
+
1
2
h
c
n
('+'')
(33)
Предположим теперь, что средняя спектральная частота 0 светового пучка весьма велика как по сравнению со средним отклонением (t)-1 в распределении частот, так и по сравнению со всеми изменениями частот '-'' Тогда мы можем с достаточным приближением положить происшедшие в результате удара изменения скорости каждой из составных частей тела равными
v
''
,x
-
v
'
,x
=
h
mc
n
('+'')
=
2nh0
mc
(34)