Природа боится пустоты полностью

Особый интерес в письме к Эратосфену представляет и общий характер изложения. Сохраняя все нормы вежливости и уважения к адресату, Архимед, тем не менее, резко критикует взгляды математиков идеалистической платоновской школы. Для него абсолютно очевидно, что никто в Александрии, включая и Эратосфена, не может решать задачи аналогичные присланным. Причем, если просто сообщать доказательства, оформленные с помощью общепризнанного метода исчерпывания, то пользы от этого будет немного, ведь никто так и не узнает способа отыскивать новые теоремы.

Поэтому Архимед решается, наконец, поделиться истинным методом своей работы. Ссылаясь на Демокрита, он безо всяких оговорок и допущений излагает основы математики атомистов, разделяя геометрические тела на чрезвычайно тонкие пластины, из которых эти тела, по его мнению, и состоят. Любые умозаключения, полученные для таких пластинок, распространяются на все тело, поскольку оно целиком ими заполнено. Точно также и фигуры у Архимеда целиком состоят из линий.

Раз уж атомистический подход полезен, то им, по твердому мнению Архимеда, необходимо пользоваться. Если имеются сомнения в его достоверности и убедительности, то готовый результат всегда можно проверить логически безупречными методами. А разного рода идеологические предрассудки и философские возражения (многие из которых выдвинул и сам Эратосфен) следует попросту игнорировать.

По иронии судьбы европейские математики, создававшие современное интегральное исчисление в XVII–XVIII веках, не знали об этом сочинении Архимеда, поскольку текст письма к Эратосфену был утерян. Лишь в 1906 году в константинопольской библиотеке Иерусалимской православной церкви обнаружилась литургическая книга, написанная на пергаменте, с которого были смыты более ранние греческие записи. Датский филолог и историк науки Йохан Любвиг Герберг (создавший, кроме прочего классическую реконструкцию «Начал» Евклида) изучил уникальный палимпсест и сумел почти полностью прочесть и издать первоначальные византийские тексты, записанные еще в X веке. Среди прочего пергамент содержал и следующие произведения Архимеда: «О равновесии плоских фигур, или о центрах тяжести плоских фигур», «О спиралях», «Измерение круга», «О шаре и цилиндре», «О плавающих телах», «Метод механических теорем», «Стомахион» (трактат о настольной игре-головоломке, целью которой было сложить квадрат из различных фигур). Последние три работы до того были известны лишь по упоминаниям у других авторов.

Отметим, что для христианской книги были использованы не все листы из рукописи письма к Эратосфену, и поэтому там отсутствуют доказательства теорем методом исчерпывания — к счастью, именно они не представляют для нас особого интереса.

Не менее интересные результаты были получены Архимедом в работе «О линиях в форме ракушек», название которой обычно переводят как «О спиралях». В этом труде рассматривается кривая, образованная равномерным движением точки по равномерно же вращающейся прямой. В результате радиус-вектор ρ данной точки возрастает пропорционально углу поворота ϕ, а уравнение полученной спирали в полярных координатах имеет вид

ρ = k·ϕ.

Основная цель Архимеда — определить площадь первого витка, которая, как оказалось, составляет треть от площади круга с радиусом, равным радиус-вектору спирали в конце первого оборота. Доказывается этот факт следующим образом.

Разделим круг на n равных секторов и обозначим за R радиус-вектор спирали в конце первого витка. Тогда для первого сектора ρ = R/n, для второго — ρ = 2·R/n, для третьего — ρ = 3·R/n, и так далее вплоть до последнего сектора, на котором, что очевидно, ρ = n·R/n=R. Теперь впишем в спираль (левый чертеж) и опишем вокруг спирали (правый чертеж) дополнительные сектора так, как это показано на рисунке. Определим площади описывающих спираль заштрихованных секторов (правый чертеж). Площадь первого самого маленького такого сектора равна π·ρ²/n = π·R²/n³, площадь второго сектора равна π·2²·R²/n³ и так далее вплоть до последнего заштрихованного сектора, площадь которого равна π·n ²·R²/n³.

Просуммировав площади всех секторов и вынеся за скобку множитель π·R²/n³, мы получим

(π·R²/n³)·(1² + 2² + 3² +…+ n²),

причем в правой скобке получается ряд, сумма которого, как знал Архимед (и мы говорили об этом выше), при бесконечно большом n равна n³/3. Таким образом, для правого чертежа получается, что площадь всех описывающих спираль заштрихованных секторов всегда больше π·R²/3 (предельный переход не совершался, поэтому нигде не говорилось, что дуги рассматриваемых секторов когда-либо совпадут со спиралью).