Природа боится пустоты полностью

Формулу для поверхности сложного тела записать нетрудно, достаточно лишь проссумировать все выражения для поверхностей отдельных конусов и усеченных конусов. Она будет равна проихзведению числа π на образующую AC и на сумму всех диаметров в основании конусов (диаметров, а не радиусов, поскольку радиус каждого основания войдет в общую сумму дважды). То есть S = π·Σ(D_i)·AC.

Затем Архимед рассматривает заштрихованные прямоугольные треугольники и показывает, что они подобны между собой, а также подобны треугольнику ACB. Из условий подобия можно получить, что сумма длинн всех диаметров в основаниии конусов так относится к AB, как BC к AC. То есть Σ(D_i)/AB = BC/AC или Σ(D_i) = AB·BC/AC. Отсюда получается, что поверхность искомого сложного тела равна S = π·AB·BC, а, поскольку хорда BC меньше диаметра AB, то площадь поверхности тела меньше π·AB² (то есть меньше π·D² или 4·π·R²).

На втором этапе доказательства Архимед описывает вокруг круга правильный многоугольник и, рассуждая полностью таким же образом, показывает, что площадь поверхности сложного тела, описанного вокруг шара, всегда будет больше, чем 4·π·R². Поскольку, увеличивая число сторон вписанного и описанного многоугольников, можно сделать разницу между их площадями сколь угодно малой, то далее Архимед по уже привычному для нас шаблону показывает, что площадь поверхности шара не может отличаться от 4·π·R², иначе это приводит к абсурду. Таким образом, доказано, что поверхность шара в четыре раза больше площади его большого круга

Для определения объема шара Архимеду пришлось воспользоваться другим изящным приемом. Он вновь вписал в круг правильный многоугольник с четным числом сторон, однако поделил его на сектора уже по-иному (как это показано на левом чертеже). Затем и круг, и все сектора мысленно поворачивались вокруг диаметра AB. В результате получался шар и уже знакомое нам вписанное в него сложное тело. Однако же теперь это тело состояло из осесимметричных кусочков, подобных тому, который показан на центральном чертеже. Только ближайшие к диаметру сектора давали тела, состоящие из двух конусов, как показано на нижнем чертеже.

Далее Архимед доказал вспомогательную теорему, гласящую, что объем тела, составленного из двух конусов с общим основанием (как показано на нижнем чертеже), равен произведению площади боковой поверхности одного из этих конусов на треть высоты, опущенной на эту поверхность из вершины второго конуса. В нашем случае для нижнего чертежа принимается поверхность верхнего конуса, а высота на нее опускается из вершины нижнего (высота не обязательно попадет на саму поверхность, но вполне может пересекать ее мысленное продолжение). Данный неочевидный факт несложно вывести из уже известных нам соотношений, и мы оставим читателям удовольствие сделать это самостоятельно.

Чтобы определить объемы остальных кусочков (аналогичных показанному на центральном чертеже), Архимед предлагает мысленно достроить каждый из них до тела, состоящего из двух конусов, как это показано на правом чертеже. Объем рассматриваемого кусочка равен объему полученного тела за вычетом объема заштрихованной части, которая также составлена из двух конусов. Причем и у целого тела на правом чертеже, и у заштрихованной его части будет одна и та же высота h. Воспользовавшись только что рассмотренной теоремой, мы можем легко увидеть, что объем нашего кусочка равен произведению площади его боковой поверхностью (образованной образующей m) на треть высоты h. Нужно заметить, что высота h будет одинаковой для каждого из кусочков. Более того, поверхность сложного тела складывается из боковых поверхностей каждого кусочка.

Общий объем сложного тела определим как сумму объемов всех составляющих его частей, и получим, что он равен произведению площади всей поверхности тела на треть высоты, то есть. При увеличении числа сторон первоначального вписанного в круг многоугольника высота h стремится R, но всегда остается меньше радиуса, так что объем вписанного в шар тела всегда будет несколько меньше объема шара.

То же самое доказывается и для тела, описанного вокруг шара (разумеется, теперь объем тела всегда получается больше, чем у шара), а затем показывается, объем шара не может быть больше или меньше, чем произведение площади его поверхности на треть радиуса, то есть (4πR²)·R/3 = 4πR³/3.

Теперь уже легко вычислить площадь и объем цилиндра, чтобы убедиться, что они действительно в полтора раза больше соответствующих величин для вписанного шара. Это элементарно доказывается, если учесть, что высота такого цилиндра равна его диаметру (то есть двум радиусам). Архимед был настолько впечатлен собственным открытием, что завещал высечь изображение шара вписанного в цилиндр на своем надгробном камне.

Если верить Цицерону, то спустя 137 лет после захвата Сиракуз римлянами, он сумел отыскать заброшенную могилу ученого именно по такому изображению.