Сочинение «Об измерении круга» вызвало полемику со стороны другого известного геометра — Аполлония Пергского, который был на 20–25 лет моложе Архимеда, но практически не уступал ему в математическом даровании. Более того, их спор, вероятно, имело еще и политическую окраску.
Аполлоний родился в середине III века до нашей эры на юго-восточном побережье Малой Азии в городе Перге (небольшом поселении крупного государства со столицей в Пергаме), но большую часть жизни провел в Александрии, где сперва обучался у учеников Евклида, а затем постепенно приобрел славу заслуженного авторитета в геометрии и астрономии. Неизвестно, успел ли он пересечься в Музее с Архимедом, но друзьями они точно не являлись: в своей обширной переписке Архимед вообще ни разу не упоминает молодого талантливого современника. Главной работой Аполлония стали «Конические сечения», где ему удалось собрать и систематизировать всё известное по данному вопросу. Книга оказалась столь хороша, что очень быстро вытеснила все предшествующие труды по коническим сечениям — ни один из них, включая работу Евклида, не сохранился. Вплоть до нового времени «Конические сечения» Апполония считалась классическим пособием, которое следовало изучать после «Начал».
В конце жизни Аполлоний вернулся на родину, чтобы занять должность придворного математика царя Аттала I, который учредил у себя дом мудрости и библиотеку подобные Александрийскому Музею. Причина, по которой в Средиземноморье возник еще один центр учености, заслуживает отдельного внимания.
Мы уже видели, что эллины пытались совместными усилиями остановить стремительную римскую агрессию. Македония, Карфаген, Ахейский союз и Сиракузы решительно выступили за независимость греческого мира. Впрочем, наивно было ожидать, что множество непрерывно враждовавших средиземноморских государств сумеют забыть все разногласия и самоотверженно объединиться в решительный час. Птолемеи вообще не захотели открыто выступить против могущественного противника, а Этолийский союз и Пергам посчитали выгодным принять сторону Рима, дабы отомстить своим былым обидчикам. Действуя совместно с римлянами, Аттал I нанес ряд поражений Филиппу V Македонскому и тем самым обеспечил долгий период процветания своему государству: в обмен на полную политическую покорность Рим отдавал Пергаму те земли, которые регулярно отбирал у Селевкидов.
Между усилившимся Пергамом и Александрией сразу же наметился экономический и политический антагонизм. Аталл желал распространить свое влияние на обширные территории Малой Азии, что побудило его превратить свою столицу в центр греческой культуры. При царском дворе создали условия для работы выдающихся философов и начали собирать внушительную коллекцию рукописей. Видя это, Птолемеи запретили вывоз папируса за пределы Египта, дабы их собственная библиотека и дальше оставалась непревзойденной. С образовавшимся дефицитом писчих материалов требовалось что-то сделать, и пергамские ремесленники усовершенствовали древнюю технологию выделки кожи. Так изобрели пергамент, и библиотека Аталла стала наполняться книгами, а дом мудрости — философами.
Именно в этот новый центр эллинистической мудрости, где образовалась кроме прочего и блестящая математическая школа, перебрался Аполлоний. Здесь им были написаны «Конические сечения», из которых четыре книги известны нам в греческом оригинале, три — только лишь в арабском переводе, а восьмая — утеряна, хоть и имеются ее реконструкции по кратким описаниям у других авторов.
В своем труде Аполлоний прежде всего дает общее определение кривых второго порядка: он берет произвольный конус и рассекает его под любым углом, причем рассматривает обе конические полости, что позволяет, наконец, получить вторую ветвь гиперболы. Из стереометрического определения выводятся симптомы кривых — словесные описания, аналогичные современным уравнениям.
Чтобы вывести симптом параболы, рассмотрим для начала конус рассеченной плоскостью так, что GL параллельна образующей AB. Точка L произвольно выбирается на оси сечения, точка K лежит на краю сечения, а полухорда LK параллельна основанию конуса. Проведем через L также и отрезок MN параллельный BC. Очевидно, что точки M, N и K лежат на одной окружности, а, значит, LK2 = ML·NL.
Теперь запишем следующие пропорции
ML/GL = BC/AC, откуда ML = GL·BC/AC;
NL/GA = BC/AC, откуда NL = GA·BC/AC.
Объединим все три соотношения вместе и получим
LK2 = GL·GA·BC2/AC2.
Заметим, что отрезок GL является переменным расстоянием от вершины сечения G до проекции точки K на ось сечения (до точки L), то есть, фактически — одной из координат. Переменный отрезок LK является второй координатой для точек рассматриваемой кривой. Комбинация GA·BC2/AC2 остается постоянной и зависит лишь от геометрии самого конуса, поэтому Аполлоний для удобства вводит отрезок GF = GA·BC2/AC2 (в нашем понимании это просто числовой коэффициент). В результате имеем окончательное уравнение вида
LK2 = GL· GF.
